- •А. И. Снопов Динамика вязкой жидкости и газа
- •Проектные задания к модулю 2 58
- •. Векторно-тензорная форма записи уравнений движения вязких жидкостей и газов
- •Уравнения движения вязких жидкостей и газов в декартовых координатах
- •1.3. Уравнения движения вязкого газа в криволинейных ортогональных координатах
- •1.4. Уравнения движения вязкого газа в цилиндрических координатах
- •1.6. Уравнение Гельмгольца для вихрей в вязкой несжимаемой жидкости
- •Проектные задания к модулю 1
- •2.1 Математические задачи в декартовых координатах для одномерных течений вязкой жидкости
- •2 .2. Решение задач о простейших одномерных установившихся течениях вязкой жидкости и их практическое значение.
- •. Напорные течения вязкой жидкости в трубах некругового сечения
- •2.4. Безнапорные одномерные установившиеся течения вязкой жидкости в трубах
- •2.5. Одномерное течение вязкой жидкости между вращающимися твердыми круглыми соосными цилиндрами
- •2.6.. Проектные задания к модулю 2
- •3.1 Общая постановка задачи
- •3.2. Математический анализ задачи
- •3.4. Сходящееся течение в диффузоре при больших числах Рейнольдса
- •3.5. Течение в диффузоре при малых числах Рейнольдса
- •3.6. Проектные задания к модулю 3
- •4.1. Вращение твердой плоскости в вязкой жидкости
- •4.1. Вращение твердой плоскости в вязкой жидкости
- •4.3. Установившееся прямолинейное движение твердого шара в вязкой жидкости
- •4.4. Уравнения тонкого слоя
- •4.5. Пограничный слой на пластине
- •4.4. Уравнения тонкого слоя
- •4.5. Пограничный слой на пластине
- •4.6 Дисковый упорный газостатический подшипник.
- •4.6 Дисковый упорный газостатический подшипник.
- •4.7. Проектные задания к модулю 4
- •5.1. Начальные и краевые условия
- •5.2. Постановка задач о неустановившихся течениях однородной несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью
- •5.2. Неустановившиеся одномерные течения вякой однородной несжимаемой жидкости
- •5.5. Периодические колебания вязкой жидкости в слое, ограниченном двумя безграничными твердыми плоскими стенкам одна из которых совершает продольные гармонические колебания
- •5.4.Продольные колебания твердой плоскости на слое жидкости бесконечной глубины
- •5.6. Одномерные неустановившиеся течения безграничной вязкой жидкости, порожденные начальным полем скоростей
- •5.6. Одномерные неустановившиеся течения безграничной вязкой жидкости, порожденные начальным полем скоростей
- •5.7. Диффузия вихревого слоя
- •5.6. Одномерные неустановившиеся течения безграничной вязкой жидкости, порожденные начальным полем скоростей
- •5.8. Использование найденных решений для исследования других нестационарных задач
4.4. Уравнения тонкого слоя
В технических устройствах, использующих жидкость или газ в качестве рабочего тела, нередко возникают такие условия течения, что вязкость в потоке проявляется в относительно тонких слоях. К таким устройствам относятся опоры скольжения (подшипники, подпятники, уплотнения и т.п.), и поверхности корпусов кораблей, самолетов, вертолетов, лопаток тутбин и т.п., для которых области, занятые потоками, не обладают малой относительной толщиной, однако числа Рейнольдса для таких потоков весьма большие, так как характерные размеры областей и скорости потоков физически большие. Как показано на примерах задач 3.1 и 4.1, исследованных в данном пособии, при больших значениях чисел Ренольдся вязкость жидкости существенно проявляется лишь в относительно тонких пристеночных слоях, толщины которых обратно пропорциональны квадратному корню из числа Рейнольдса, а вне этого слоя жидкость ведет себя как идеальная, без внутреннего трения.
Основные допущения теории тонкого слоя
1. Рассматриваем поток жидкости между двумя близко расположенными поверхностями, радиусы кривизны которых соизмеримы с их характерными протяженностями этих поверхностей.
2. Пусть характерное расстояние между поверхностями много меньше и . (
3. Это дает основания пренебречь кривизной поверхностей и связать с одной из них оси , рассматривая их как оси декартовой системы координат , координату которой отсчитывать по нормали к координатной поверхности.
4. Такой подход позволяет пользоваться уравнениями Навье-Стокса в декартовых координатах.
5. Действие массовых сил на движение жидкости не учитываем.
6. Решение задачи о движении вязкой жидкости межу вращающимися цилиндрами, представленное во втором разделе данного пособия, показало, что поперечное к слою изменение давления пренебрежимо мало в случае малой относительной толщины слоя. Поэтому в модели тонкого слоя уравнение Навье Стокса в проекции на ось заменяем уравнением
Силы инерции жидкости в тонком слое при больших числах Рейнольдса полностью удерживаются в уравнениях движения в проекциях на оси и .
В уравнении неразрывности все слагаемые имеют один и тот же порядок, так как оно выражает один из основных законов природы – закон сохранения массы.
В уравнениях движения в силах вязкости слагаемые
,
имеют наибольшую величину, а остальные слагаемые пренебрежимо малы по сравнению с ними.
10. Процесс течения жидкости в тонком слое можно рассматривать как изотермический, что позволяет принять и не учитывать уравнение баланса энергии.
11. Если термодинамические процессы в тонком слое не позволяют считать их изотермическими, то необходимо учитывать уравнение баланса энергии и и соответствующие температурные условия на границах слоя.
Ограничимся записью уравнений тонкого слоя в рамках допущений 1 - 10.
Уравнения тонкого соя
(4.35)
Эти уравнения применимы для исследования пограничных слоев, толщина которых заранее неизвестна и определяется в процессе расчетов из условий прилипания потоков к твердым границам слоя и условий сопряжения потоков с внешними потоками, вязкость в которых не учитывается, на жидких границах пограничных слоев. Давление в пограничном слое считается известной функцией координат и определяется из решения задачи о внешнем потоке.
Для смазочных слоев уравнения (4.35) также применимы, но обычно полностью пренебрегают силами инерции (применяют линеаризацию по Стоксу) в уравнениях движения и используют систему уравнений
(4.36)
Если смазка жидкостная, то принимают const.
Для газовой смазки принимают ( , где – газовая постоянная, – температура газа.