2.2 Узагальнений алгоритм розв’язання задачі динамічного програмування

У практиці розв’язання задач методом динамічного програмування вважають найскладнішим “розпізнання” задачі як такої, що може бути розв’язана цим методом. Разом з тим узагальнений алгоритм (послідовність) розв’язання задачі цим методом складається з таких основних етапів.

Визначення параметру (параметрів), що характеризує стан системи. У розглянутій вище задачі таким параметром є вартість руху з даної точки до кінцевої точки траєкторії, тобто до точки В.

Вибір координат, в яких визначається положення системи на траєкторії її руху. При цьому під рухом, взагалі кажучи, розуміють зміну стану системи, а не обов’язково механічний рух. В задачі, що розглядалась вище, це є координати х і у траєкторії руху, від яких залежить вартість руху до кінцевої точки В.

Ділення процесу на кроки, які складають траєкторію руху. В задачі це було ділення траєкторії на ділянки в напрямках координат х і у.

Визначення підмножини допустимих траєкторій для кожного кроку. В задачі це були допустимі шляхи руху у напрямках координат х і у.

Запис основного рівняння динамічного програмування для даної задачі, з використанням якого можна визначити “вартість” або “виграш”, який забезпечується у випадку руху системи з даної точки до кінцевої точки траєкторії. В задачі таким рівнянням була сума вартостей руху системи з даної точки до кінцевої точки В для кожної допустимої траєкторії.

Здійснення умовної оптимізації останнього кроку на траєкторії руху, потім умовна оптимізація попереднього кроку і т.д. - до початку процесу. У наведеній вище задачі умовною оптимізацією кроку було визначення такого напрямку руху з даної точки, який забезпечує мінімум вартості руху до кінцевої точки В. При цьому оптимізація вважається умовною, оскільки вона здійснюється за умови, що система у процесі руху прийшла у дану точку.

Після оптимізації останнього у зворотному прогоні, але першого на траєкторії руху системи кроку одержуємо оптимальну траєкторію руху системи з початкової до кінцевої точки і значення цільової функції для цієї траєкторії.

Запитання для самоконтролю

1. Сформулюйте і поясніть основні особливості задач, що розв’язуються методом динамічного програмування .

2. В аеропорту, територія якого характеризується складною забудовою, необхідно побудувати підземну лінію комунікацій, вибравши оптимальну за вартістю траєкторію лінії. Поясніть, як можна методом динамічного програмування розв’язати таку задачу.

3. В чому полягає принцип оптимальності, яким керуються у процесі розв’язання задач динамічного програмування?

4. Перерахуйте основні етапи процесу розв’язання задачі динамічного програмування способом зворотного прогону і поясніть їх сутність.

3 СТАТИСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ОБСЛУГОВУВАННЯ ПОВІТРЯНОГО РУХУ

3.1 Основні відомості про метод імітаційного моделювання

Одним із різновидів математичного моделювання є імітаційне моделювання. Воно може бути детермінованим, статистичним або змішаним. Метод детермінованого імітаційного моделювання застосовується для розв’язування задач, в яких початкові дані, за якими треба обчислити кінцевий результат процесу, є детермінованими, тобто не випадковими. Але при цьому згаданий кінцевий результат треба обчислити при різних значеннях початкових даних з тією метою, щоб визначити, які з них забезпечують одержання найбільш прийнятного або оптимального результату. Таке моделювання, коли воно здійснюється з використанням електронної обчислювальної машини (ЕОМ), називають також діалоговим режимом роботи дослідника (оператора) з ЕОМ. Наприклад, нас може цікавити часове завантаження органу управління повітряним рухом (УПР) при реалізації різних варіантів плану польотів. Тоді, склавши відповідну програму для ЕОМ, у машину вводять дані одного із варіантів плану, за якими вона обчислює і видає досліднику (оператору) відповідний показник, що характеризує згадану завантаженість. Тоді дослідник вводить в ЕОМ дані іншого варіанту плану польотів і т.д. , порівнюючи між собою показники згаданої завантаженості, що відповідають різним планам польотів, і визначаючи при цьому найбільш прийнятний план польотів. Такий “діалог дослідника з ЕОМ“ продовжується до тих пір, поки не буде визначено, котрий із запропонованих варіантів плану польотів є, за прийнятим критерієм, найбільш раціональним.

У розглянутому вище процесі детермінованого імітаційного моделювання кожним варіантом плану польотів передбачався певний, тобто визначений час вильоту кожного повітряного судна, а також прольоту ним контрольних точок. При цьому показник завантаженості (наприклад, коефіцієнт часової завантаженості) органу УПР має певне значення для кожного варіанту плану польотів. Але план польотів ідеально точно не витримується, тому що в результаті дії різних випадкових факторів час вильоту повітряних суден, а також прольоту ними контрольних точок відхиляється від передбаченого планом. Згідно зі статистичними даними, які наводяться в літературних джерелах, можна вважати, що такі відхилення відбуваються у відповідності з нормальним законом розподілу ймовірності їх значень, математичне сподівання яких дорівнює нулю, а середній квадратичний відхил складає 6 - 8 хвилин. А випадкові зміни часу вильоту повітряних суден і прольоту ними контрольних точок обумовлюють випадкові зміни показника часової завантаженості органу ОПР. Тому після визначення найбільш раціонального варіанта плану польотів нас може цікавити, в яких межах буде змінюватись або яке середнє значення матиме показник завантаженості органу ОПР при реалізації такого плану і випадкових змінах запланованого часу вильоту повітряних суден (прольоту ними контрольних точок). Тепер будемо мати задачу, в котрій результат, який треба визначити, залежить від початкових випадкових величин (згаданого часу) і тому сам буде випадковим. Такі задачі розв’язують, здебільшого, методом статистичного (стохастичного) моделювання, який також називають методом Монте–Карло. Оскільки тепер кінцевий результат процесу (завантаженість органу ОПР) приймає випадкові значення, то для його оцінки обчислюють статистичні оцінки числових характеристик (параметрів розподілу) результуючої випадкової величини. Як правило, це є статистичні оцінки математичного сподівання (середнє арифметичне значення) і дисперсії випадкової величини.

Треба мати на увазі, що деякі, порівняно прості задачі, в котрих результат залежить від початкових випадкових величин, можна розв’язати аналітичним способом, використавши методи теорії ймовірностей і не застосовуючи статистичне моделювання. Аналітичний спосіб потребує меншого обсягу обчислень і забезпечує одержання більш точного результату, ніж метод статистичного моделювання.

Змішане імітаційне моделювання застосовують для розв’язання задач, в котрих частина початкових змінних є випадковими, а інша частина – детермінованими величинами, і при цьому треба оцінити результат процесу при різних значеннях згаданих детермінованих змінних.