7.3 Основні різновиди систем масового обслуговування
Основні різновиди СМО перераховані на рис. 6.2, де поряд наведені СМО, що протилежні за певною ознакою.
Одноканальні
Багатоканальні
Однофазні
Багатофазні
Одиничні
Мережа СМО
Відкриті
Закриті
З витратами
Без витрат
Марковські
(без післядії)
Не марковські
(з післядією)
Рис. 7.2
Одноканальною називають СМО, яка має один прилад (канал) обслуговування. Багатоканальна СМО має кілька приладів обслуговування, що включені паралельно і діють одночасно, а будь-яка заявка обслуговується одним з таких приладів. Наприклад, якщо під обслуговуванням повітряних суден розуміти їх посадку на даному аеродромі, то за наявності на останньому однієї злітно-посадкової смуги матимемо одноканальну СМО, а у випадку двох і більше одночасно діючих смуг будемо мати багатоканальну СМО.
В однофазній СМО кожна заявка обслуговується одним приладом, а в багатофазній – більше, ніж одним приладом, послідовно кожним. Наприклад, диспетчерський пункт посадки може розглядатися як однофазна СМО, але разом взяті диспетчерські пункти району аеродрому, кожним з яких послідовно обслуговується повітряне судно, є багатофазною СМО.
У мережі окремі СМО певним чином функціонально пов’язані між собою. Наприклад, кожний з аеродромів певної місцевості може розглядатися як окрема СМО, що забезпечує посадку повітряних суден. Але для окремого судна (або групи суден) один з таких аеродромів може бути аеродромом призначення, а інші – запасними. Тоді такі аеродроми можна розглядати як мережу СМО, що призначена для обслуговування окремого судна або групи суден.
Систему масового обслуговування називають відкритою, коли теоретично джерело заявок на обслуговування можна вважати невичерпним, тобто коли не всі об’єкти, від яких поступають такі заявки, заздалегідь відомі. В іншому разі матимемо закриту СМО. Наприклад, у загальному випадку аеродром слід розглядати як відкриту СМО. Але якщо мати на увазі тільки польоти повітряних суден, що передбачені постійно діючим розкладом (планом), то той же аеродром можна вважати закритою СМО, тому що тепер заявки на прийом і випуск повітряних суден будуть поступати від об’єктів, коло яких визначене, і процес надходження таких заявок буде періодично повторюватись (у імовірнісному розумінні).
Систему масового обслуговування без втрат маємо у випадку, коли будь-яка заявка, що поступила до черги на обслуговування, може перебувати в ній як завгодно довго. Якщо ж час перебування в черзі хоча б частини заявок обмежений, тобто після перебування в черзі протягом певного часу заявка залишає дану СМО не обслуженою, то матимемо СМО з втратами.
Особливість випадкових процесів без післядії (марковських) і з післядією (не марковських) буде розглянуте далі.
7.4 Основні закони розподілу ймовірності в системах і процесах обслуговування повітряного руху
Як відзначалося вище, процеси в системі обслуговування повітряного руху, як правило, можуть бути адекватно модельовані з застосуванням методів теорії систем масового обслуговування. З іншого боку, основні характеристики цих процесів, як правило, мають випадкові значення, такими є, зокрема, поточні значення інтервалів поздовжнього ешелонування між повітряними суднами, що виконують політ на даному ешелоні, часові інтервали між моментами прильоту суден в район аеродрому, тривалість сеансу радіозв’язку диспетчера управління повітряним рухом з екіпажем повітряного судна і ін. А це означає, що потоки подій в такій СМО мають, переважно, випадковий характер. При цьому теоретично доказано і практично підтверджено, що ймовірності кількості подій протягом певного часу, значень інтервалів між суміжними подіями розподілені у відповідності з певними законами. При цьому особливе місце при розв’язанні задач управління повітряним рухом, як і в теорії СМО взагалі, займає закон Пуассона, названий так за ім’ям французького математика, механіка і фізика С.Д. Пуассона (1781-1840). Потік подій, в якому вони розподілені відповідно до цього закону, називають пуассонівським або найпростішим, йому властиві деякі особливості, основними з яких є стаціонарність, ординарність і відсутність післядії.
Стаціонарність означає, що кількість подій, які відбуваються протягом певного, не нескінченно малого проміжку часу, залежить тільки від протяжності такого проміжку, але не залежить від вибору його початку, тобто від його положення на осі часу. Крім того, кількість подій, що відбуваються протягом певного інтервалу часу, лінійно залежить від протяжності інтервалу. А це означає, що хоч значення інтервалів між подіями у такому потоці і випадкові, але у середньому інтенсивність подій з часом залишається постійною.
Згідно з властивістю ординарності потоку подій ймовірністю того, що протягом нескінченно малого проміжку часу Δt відбудеться більше однієї події, можна знехтувати порівняно з ймовірністю однієї події. А це означає, що події у такому потоці відбуваються, переважно, поодинці, а не по дві чи більше одночасно.
Відсутність післядії означає, що протікання процесу у майбутньому залежить тільки від його стану в даний момент, але не залежить від його стану у минулому. Інакше говорять так: майбутнє процесу залежить тільки від його історії, але не залежить від передісторії, тобто маємо процес без передісторії. У найпростішому випадку відсутність післядії у потоці подій означає, що час настання чергової події залежить тільки від того, коли відбулася попередня подія, але не залежить від часу настання події, що передує цій попередній.
Випадкові процеси без післядії називають також марковськими, а з післядією – не марковським. Розглянемо приклади марковського і не марковського процесів. Відомо, що практикують маршрутний і шляховий способи навігації (водіння повітряних суден), при використанні обох способів політ судна протягом більшості часу виконується у режимі обчислення шляху, але періодично, з допомогою засобів, що не входять до системи такого обчислення, перевіряють точність обчислення, тобто точність польоту за лінією заданого шляху (ЛЗШ) і, за необхідності, змінюють траєкторію польоту так, щоб вона була більш наближеною до ЛЗШ. В такому процесі випадковими змінними є значення лінійного бічного відхилення (ЛБВ) лінії фактичного шляху (ЛФШ) відносно ЛЗШ, а подіями, що призводять до різкої зміни такої випадкової, є корекції місця (координат) повітряного судна при маршрутному способі навігації і корекція шляху – при шляховому способі. Але при польоті маршрутним сопсобом значення ЛБВ у будь-який час залежить тільки від результату останньої корекції і не залежить від усіх попередніх корекцій. Отже, при цьому процес зміни значень ЛБВ є процесом без післядії. Разом з тим у випадку польоту шляховим способом значення ЛБВ у будь-яку мить залежить від результатів усіх виконаних корекцій, починаючи з виходу в початковий пункт маршруту, тобто такий процес характеризується післядією.
Як відзначалося вище, випадкові процеси (потоки подій) без післядії називають марковськими, а випадкові процеси з післядією - не марковськими, від прізвища російського математика А.А.Маркова (1856-1922 рр.), який, зокрема, досліджував випадкові процеси.
Закон Пуассона є одним з імовірнісних законів, які описують розподіл за часом дискретних випадкових величин (подій), і відноситься до найпростішого потоку подій. Згідно з цим законом ймовірність того, що протягом інтервалу часу протяжністю t відбудеться рівно n подій
,
n = 0,1,2,…,
де λ – інтенсивність подій, е=2,718… – основа натуральних логарифмів.
Тоді ймовірність того, що протягом інтервалу t відбудеться не більше n подій,
.
А ймовірність більше n подій протягом того ж інтервалу t
.
Розподіл Пуассона має один параметр, яким є інтенсивність λ потоку подій.
З визначення інтенсивності λ подій і стаціонарності пуассонівського потоку випливає, що добуток λt, що присутній у наведених вище формулах, є математичним сподіванням кількості подій за інтервал часу t.
У випадку t = 1 математичне сподівання кількості подій m1=λ, тобто для стаціонарного потоку подій їх інтенсивність є кількістю подій, що відбуваються, в середньому, протягом одиниці часу.
В теорії ймовірностей доказано, що для розподілу Пуассона середнє квадратичне відхилення кількості подій від її математичного сподівання
,
де mt = λt – математичне сподівання кількості подій протягом інтервалу t.
Практикою підтверджено, що у переважній більшості випадків при дослідженні процесів управління повітряним рухом реальні потоки подій можна вважати пуассонівськими. Це, зокрема, такі події, як вхід повітряних суден в певний повітряний простір, виклики екіпажами повітряних суден диспетчера управління повітряним рухом на радіозв’язок тощо.
Але у більшості випадків в системі обслуговування повітряного руху доводиться розв’язувати задачі, пов’язані з забезпеченням певних лінійних або часових інтервалів між моментами настання окремих подій. Це обумовлено тим, що безпека повітряного руху забезпечується, в основному, шляхом ешелонування польотів, що означає, по суті, саме забезпечення згаданих інтервалів. Тому іншим важливим законом розподілу ймовірності, який широко використовується для опису процесів обслуговування повітряного руху, є показниковий (експоненційний) закон. Він тісно пов’язаний з законом Пуассона: згідно з показниковим законом розподілена ймовірність часових інтервалів між суміжними подіями у пуассонівському потоці.
При показниковому (експоненційному) законі розподілу інтервалів τ щільність ймовірності їх значень
для τ≥0,
для τ<0,
де λ – інтенсивність подій.
Приклад графіку наведеної вище функції f(τ) показаний на рис. 6.3 суцільною лінією. З цього рисунка випливає, що у випадку показникового розподілу інтервалів ймовірність малих їх значень більша, ніж великих. Адже ймовірність того, що значення інтервалу буде більше τ1 але менше τ2
,
тобто вона дорівнює площі під кривою f(τ), обмеженою значеннями інтервалу τ1 і τ2.
Розглянувши такий же за протяжністю проміжок τ4 - τ3= τ2 - τ1, що відповідає більшим значенням інтервалів, приходимо до висновку, що відповідний інтеграл має менше значення, ніж наведений вище.
Ймовірність того, що інтервал не перевищить, наприклад, значення τ1 (див. рис. 7.3)
.
Ймовірність перевищення значенням інтервалу заданого τ1
.
У процесах обслуговування повітряного руху часто зустрічається так званий зсунений показниковий (експоненційний) закон розподілу ймовірностей. Наприклад, інтервали між моментами входу повітряних суден в район аеродрому можуть мати будь-які невід’ємні значення, тому ймовірність їх значень визначається показниковим (експоненційним) законом розподілу, що розглянутий вище. Разом з тим поздовжні інтервали між повітряними суднами, що виконують політ на одному і тому ж ешелоні повітряної траси, не можуть бути меншими мінімального допустимого τ0, аналогічне дійсно відносно інтервалів між посадками повітряних суден на одну і ту ж злітно-посадкову смугу тощо. Щільність ймовірності таких інтервалів визначається зсуненою експонентою:
для τ≥τ0,
для τ<τ0.
Графік такої експоненти показаний на рис. 6.3 пунктирною лінією.
Показниковий (експоненційний) закон розподілу ймовірності інтервалів між подіями в СМО зустрічається дуже часто у зв’язку з тим, що сума хоча б кількох незалежних ординарних стаціонарних потоків, в яких навіть спостерігається післядія, є найпростішим потоком. Це має місце навіть у випадку складання ряду регулярних потоків. Тому, зокрема, якщо з аеродромів вильоту або з інших повітряних трас на даний ешелон польоту приходять потоки повітряних суден, які максимально наближені до регулярних, то результуючий потік суден все одно виявляється близьким до найпростішого. Однак це має місце, коли значення інтенсивностей потоків, що складаються, мають, приблизно, один порядок.