1.5 Основні положення, на яких базується симплекс-метод розв’язання задач лінійного програмування
Симплекс-метод (“симплекс” - англійське “простий”) забезпечує розв’язання задач лінійного програмування будь-якої вимірності, тобто з будь-якою скінченою кількістю змінних. Цей метод базується на двох наступних основних положеннях.
1. Теорема (без доказу). Якщо цільова функція задачі лінійного програмування приймає оптимальне значення у будь-якій точці області допустимих розв’язків задачі, то така точка є крайньою точкою (вершиною) згаданої області. Якщо ж цільова функція приймає оптимальне значення хоча б у двох точках області допустимих розв’язків задачі, то вона має таке ж значення в будь-якій точці їх опуклої комбінації, тобто тоді задача має нескінченну множину розв’язків.
На рис. 2.2. крайніми точками (вершинами) області допустимих розв’язків задачі є точки О, А, Б, В, Г. Отже, розглянуту вище задачу можна розв’язати, обчисливши значення цільової функції, що відповідають координатам кожної із цих точок, і визначивши оптимальний розв’язок як такий, що забезпечує найбільше (або найменше - в залежності від умов задачі) значення цільової функції. Однак симплекс-метод забезпечує більш раціональний шлях розв’язання задачі лінійного програмування, який не потребує розгляду всіх крайніх точок області допустимих розв’язків задачі. Цей шлях базується на наступному положенні.
2
.
У процесі розв’язування задачі лінійного
програмування не обов’язково одночасно
розглядати весь простір допустимих
розв’язків (всі змінні) задачі. Можна
послідовно розглядати проекції такого
простору на його підпростори, тобто
розглядати тільки частину змінних
задачі, вважаючи інші змінні рівними
нулю.
Наприклад, якщо в трьохвимірному
просторі, тобто в системі координат XYZ
є простір допустимих
розв’язків задачі, що має форму піраміди
X1Y1Z1О (рис. 2.3), то проекція такого простору
на його підпростори можуть бути:
- на підпростір змінних XY (на площину XОY) - трикутник X1ОY1;
- на підпростір змінних XZ (на площину XОZ) - трикутник X1ОZ1;
- на підпростір змінних YZ (на площину YОZ) – трикутник Y1ОZ1.
Таким чином, для одержання проекції простору змінних задачі на їх підпростір треба прирівняти нулю змінні, які не відносяться до відповідного підпростору.
Змінні, на підпростір яких проектують простір всіх змінних задачі, називають базисними змінними або базисом. У розглянутому вище прикладі як базисні почергово розглядалися змінні x і y, x і z, y і z.
При розв’язанні задач лінійного програмування кількість базисних змінних приймають рівною кількості рівнянь-обмежень задачі, чим забезпечується можливість розв’язання системи цих рівнянь. А розглядаючи почергово різні базиси змінних, знаходять оптимальний розв’язок задачі.
1.6 Узагальнений алгоритм і приклад розв’язання задачі лінійного програмування симплекс-методом
Процес розв’язання будь-якої задачі лінійного програмування симплекс-методом складається з послідовності певних дій, кроків, сукупність яких є узагальненим алгоритмом розв’язання задачі. Розглянемо ці кроки у загальному і одночасно демонструючи їх виконання на прикладі розв’язання задачі, яка раніше була розв’язана графічно.
1. Нерівняння-обмеження задачі перетворюємо на рівняння. З цією метою в рівняння вводимо додаткові змінні, які також називають вільними змінними і які, як і основні змінні, повинні бути невід’ємними, а також надалі враховуються як і основні.