Принципиальные и непреодолимыеограничения сфер функционирования логики

Итак, невозможность функционирования формальной логики во многих содержательных областях знания следует из невозможности удовлетворительной формализации понятий. Например, нетрудно заметить, что, принимая за истинное суждение “Все крокодилы зеленые”, мы даем формализованный признак крокодилов — они могут быть и серыми, и серо-зелеными и т.п. То есть мы ограничиваем содержание понятия “крокодилы” всего лишь одним из многих тысяч предикатов. Здесь полезно еще раз вспомнить слова Л.Кэрролла о логиках, а также привести замечание А.Шопенгауэра: “...Сферы понятий многообразно захватывают одна другую и вполне допускают поэтому произвольный переход от одного понятия к другому... оратор произвольно выбирает в них свою дорогу, всегда делая вид, будто она единственная, а затем, смотря по своей цели, в конце концов достигает блага или зла. ... Оболочкой такой софистики может быть или плавная речь, или же строгая силлогистическая форма — смотря по тому, где находится слабая струнка у слушателя” [Шопенгауэр, 1992, с.92—93].

Если перейти к внутренним проблемам языка логики, то и здесь, как оказалось, рабочие понятия логики, понятия ее формализованных языков, такие как “истина”, “выполнимость”, “определимость” и т.п., могут определяться только средствами более богатых языков — метаязыков (метаязык — язык, средствами которого исследуются и описываются свойства другого языка, называемого предметным, или объектным). Эти проблемы логики были проанализированы А.Тарским, и их неразрешимость заключается в том, что для определения понятий метаязыка также необходим метаязык, т.е. нужно подниматься на следующий метаязыковый уровень и т.д., но не до бесконечности, а до языка, максимально высокого для человека уровня — естественного языка.

Смешение языка и метаязыка на любом уровне приводит к логическим парадоксам. Поскольку для естественного языка нет метаязыка, смешение языков различного уровня неустранимо. В результате мы приходим к неразрешимым логическим парадоксам, которые, что важно, уже не суть логические ошибки. Логические парадоксы известны с античности. Хорошо известны, например, логические парадоксы, приписываемые Евбулиду из Милета (IV в. до Р.Х.), содержательные типа “лысый”, “куча” и логический парадокс “лжец”. Последний парадокс самый известный в истории (считается, что этот парадокс Евбулид обнаружил у критского философа Эпименида, жившего в VI в. до Р.Х.). Он имеет различные варианты:

“Я лжец”.

“Все, что говорит Платон, — ложь”, — сказал Сократ.

“Все, что говорит Сократ — истина”, — сказал Платон (в этой формулировке парадокс “лжец” известен из Средневековья).

Также известен парадокс Б.Рассела (ХХ в.), сформулированный им на основании разрабатываемой теории множеств:

“Деревенский парикмахер бреет тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя?”

Наконец, непреодолимая ограниченность логики в познавательном процессе вытекает из теорем о неполноте, выведенных и доказанных К.Гёделем. Мы не приводим описание теорем Гёделя и тем более их доказательство, но важно учитывать их общепризнанный результат: в теоремах Гёделя утверждается несовместимость требований полноты и непротиворечивости. Напомним, что исчисление непротиворечиво, если в нем не выводимо никакое утверждение (формула) вместе с его отрицанием; исчисление считается полным относительно соответствующей области, если в нем выводима всякая формула, выражающая верное утверждение из этой области. Согласно теореме Гёделя, никакое непротиворечивое исчисление, содержащее сколь угодно много аксиом, не может быть полным. Гёделем это доказано даже для такого частного раздела математики, как арифметика: для всякого исчисления со сколь угодно большим числом введенных аксиом может быть построено верное арифметическое утверждение, формализуемое, но не выводимое в исчислении. Для его выводимости требуется введение дополнительной аксиомы и т.д.