2. Условная оптимизация.

Результаты вычислений будем заносить в сводную таблицу. Ее структура следующая: в первом столбце записываем возможные состояния системы (S=1,2,3,4,5), в верхней строке (шапке) – номера предприятий, соответствующие номеру шага (i=1,2,3).

На каждом шаге определяем условные оптимальные управления х_i(s) и соответствующие им выигрыши W_i(s).

2.1 Условная оптимизация для i =3.

В соответствие с принципом оптимальность Беллмана, лежащего в основе методов динамического программирования, условную оптимизацию начинаем с последнего шага, т.е. с 3-го предприятия.

Функциональное уравнение имеет вид (3):

Поэтому столбцы для i =3 заполняем автоматически на основании исходной таблицы. (Иными словами, с последним предприятием все просто – сколько средств осталось, столько и вкладываем). Получаем табл. №1

Табл. 1

Сводная таблица условной оптимизации для i=3

Ѕ	i=3		i=2		i=1
	Х3(S)	W3=(S)	Х2(S)	W2=(S)	Х1(S)	W1=(S)
1	1	1,7
2	2	2,4
3	3	2,7
4	4	3,2
5	5	3,5

2.2. Условная оптимизация для i=2.

Функциональное уравнение имеет вид:

W₂ (s)= тах[ φ₂(х) + W₃ (s-х)] (5)

Это означает, что во второе предприятие надо вложить столько средств, чтобы сумма прибыли, полученной от него (φ₂(х)) и от 3-го предприятия (W₃ (s-х)), была максимальна. W₃ (s-х) мы уже знаем из п 2.1

Нам необходимо рассмотреть пять случаев.

Случай S=1.

х	1-х	φ2(х)	W3 (1-х)	φ2(х) + W3 (1-х)
0	1	0	1,7	0 + 1,7=1,7
1	0	2	0	2+1 = 2

тах { 1,7; 2 }=2, следовательно W₂ (1)=2; х₂(1)=1.

Случай S=2.

х	2-х	φ2(х)	W3 (2-х)	φ2(х) + W3 (2-х)
0	2	0	2,4	0 + 2,4=2,4
1	1	2	1,7	2+1,7 = 3,7
2	0	2,1	0	2,1 + 0 = 2,1

тах { 2,4; 3,7; 2,1}=3,7, следовательно W₂ (2)=3,7; х₂(2)=1

Случай S=3.

х	3-х	φ2(х)	W3 (3-х)	φ2(х) + W3 (3-х)
0	3	0	2,7	0 + 2,7=2,7
1	2	2	2,4	2+2,4 = 4,4
2	1	2,1	1,7	2,1 + 1,7 = 3,8
3	0	2,3	0	2,3 + 0 = 2,3

тах { 2,7; 4,4; 3,8; 2,3}=4,4 , следовательно W₂ (3)=4,4; х₂(3)=1

Случай S=4.

х	4-х	φ2(х)	W3 (4-х)	φ2(х) + W3 (4-х)
0	4	0	3,2	0 + 3,2=3,2
1	3	2	2,7	2+2,7 = 4,7
2	2	2,1	2,4	2,1 + 2,4 = 4,5
3	1	2,3	1,7	2,3 + 1,7 = 4,0
4	0	3,5	0	3,5 + 0 = 3,5

тах { 3,2; 4,7; 4,5; 4,0; 3,5}=4,7 , следовательно W₂ (4)=4,7; х₂(4)=1

Случай S=5.

х	5-х	φ2(х)	W3 (5-х)	φ2(х) + W3 (5-х)
0	5	0	3,5	0 + 3,5=3,5
1	4	2	3,2	2+3,2 = 5,2
2	3	2,1	2,7	2,1 + 2,7 = 4,8
3	2	2,3	2,4	2,3 + 2,4 = 4,7
4	1	3,5	1,7	3,5 + 1,7 = 5,2
5	0	4,0	0	4 + 0 = 4,0

тах { 3,5; 5,2; 4,8; 4,7; 5,2; 4}=5,2

Таким образом, для S=5 возможны два условных оптимальных управления: х₂(5)=1 и х₂(5)=4. При этом W₂ (5)=5,2.

Полученные результаты заносим в таблицу 1 и получаем сводную таблицу условной оптимизации №2.

Табл. 2

Сводная таблица условной оптимизации для i=2 и 3.

Ѕ	i=3		i=2		i=1
	Х3(S)	W3=(S)	Х2(S)	W2=(S)	Х1(S)	W1=(S)
1	1	1,7	1	2,0
2	2	2,4	1	3,7
3	3	2,7	1	4,4
4	4	3,2	1	4,7
5	5	3,5	1 или 4	5,2

2.3. Условная оптимизация для i=1.

Функциональное уравнение:

W₁ (s)= тах[ φ₁(х) + W₂ (s-х)] (6)

Поясним смысл этого уравнения: в первое предприятие надо вложить столько средств, чтобы сумма прибыли, полученной от него φ₁(х) и от 2-го и 3-го предприятия, была максимальна. Причем W₂ (s-х) мы нашли ранее в п. 2.2. Кроме того, состояние системы перед этим шагов известно. Действительно, поскольку это предприятие первое, то мы располагаем всей суммой S=D=5 млн.руб.

Поэтому условную оптимизацию проводим только для S=5.

х	5-х	φ 1(х)	W2 (5-х)	φ1(х) + W2 (5-х)
0	5	0	5,2	0 + 5,2=5,2
1	4	1,5	4,7	1,5+4,7 = 6,2
2	3	2,0	4,4	2,0 + 4,4 = 6,4
3	2	2,5	3,7	2,5 + 3,7 = 6,2
4	1	3,0	2,0	3,0 + 2,0 = 5,0
5	0	3,6	0	3,6 + 0 = 3,6

тах { 5,2; 6,2; 6,4; 6,2; 5; 3,6}=6,4. Значит W₁ (5) = 6,4 при х₁(5)=2.

Полученные результаты заносим в таблицу 2 и получаем сводную таблицу условной оптимизации №3.

Табл. 3

Сводная таблица условной оптимизации для i=1,2,3.

Ѕ	i=3		i=2		i=1
	Х3(S)	W3=(S)	Х2(S)	W2=(S)	Х1(S)	W1=(S)
1	1	1,7	1	2,0
2	2	2,4	1	3,7
3	3	2,7	1	4,4
4	4	3,2	1	4,7
5	5	3,5	1 или 4	5,2	2	6,4