Билет №18

1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов.

Так принято называть выводимое из м.к.т. уравнение, определяющее давление газа. Важным здесь является выяснение молекулярно-кинетического понятия температуры. Для дальнейшего нам понадобится понятие концентрации молекул. Будем называть концентрацией n число молекул в единице объема.

Первая формула справедлива всегда, вторая – в случае, если концентрация всюду в объеме постоянна.

Через концентрацию можно выразить и давление газа   . Используя введенную ранее постоянную Больцмана  запишем  . Итак, получим

Необходимо вывести это же уравнение из молекулярно-кинетической теории, иными словами, найти давление газа на стенку. Давление – результат ударов молекул. Импульс, переданный всеми молекулами за секунду, – это и есть сила давления т.е. PS, где S – площадь стенки. Поскольку при каждом соударении молекул полный импульс сохраняется, для расчета давления не нужно учитывать соударения молекул между собой.

Рассмотрим молекулу (рис.10.1), движущуюся между стенками сосуда, расстояние между которыми L. При ударе о верхнюю стенку меняется только составляющая скорости   . Эта составляющая меняется на   .

Изменение импульса молекулы при ударе (т.е. передаваемый стенке импульс) равно δp=2mv_z . Это изменение импульса приходится на время   , протекающее между двумя ударами о верхнюю стенку, которое равно   .

Итак, средняя сила, действующая со стороны одной молекулы на стенку, равна

У разных молекул разные скорости, поэтому вместо   надо записать   , где i – номер молекулы. Полная сила со стороны всех молекул   . Для того чтобы найти давление, нужно эту силу разделить на площадь стенки S:

Запишем теперь просуммируем по всем N молекулам

Ввиду равноправия осей x,y,z при т.д.р. три суммы справа должны быть (при большом числе молекул) равны между собой, откуда

.

Введем понятие среднеквадратичной скорости (она называется еще тепловой скоростью v_i ). Для этого необходимо найти средний квадрат скорости. Он, очевидно, равен

(10.3)

Предыдущее выражение вполне аналогично выражению для средней арифметической скорости

(10.4)

только в (10.4) складываются абсолютные величины скоростей молекул, а в (10.3) – квадраты скоростей.

Среднеквадратичной, или тепловой скоростью называется корень квадратный из выражения (10.3):

Заметим, что   всегда больше средней арифметической скорости (10.4). Это легко проверить, подставляя вместо   любые (неравные) числа.

Возвращаясь к выводу уравнения м.к.т. газов, запишем, пользуясь уравнением (10.3):

.

Подставляя полученное выражение в выражение для P, получим

.

Наконец, учитывая, что   - концентрация, и замечая, что

есть средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, получим

Это и есть основное уравнение м.к.т. идеальных газов. Оно читается так: давление газа равно 2/3 кинетической энергии поступательного движения молекул, заключенных в единице объема.

2. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Остроградского - Гаусса.

Число линий вектора E, пронизывающих некоторую поверхность S, называется потоком вектора напряженности N_E.

Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным (рис.13.4).

Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению(рис.13.5).

где   - угол между силовой линией и нормалью   к площадке dS;   - проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равен

(13.4)

Так как   , то

(13.5)

где   - проекция вектора   на нормаль и к поверхности dS.

Определим поток напряжённости поля электрических зарядов через некоторую замкнутую поверхность, окружающую эти заряды. Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиуса R, окружающей один заряд, находящийся в ее

центре (рис. 13.6).  Напряженность поля по всей сфере одинакова и равна

Силовые линии направлены по радиусам, т.е. перпендикулярны поверхности сферы   , следовательно

т.к.    Тогда поток напряженности   будет равен

Используя формулу напряжённости, находим

(13.6)

Окружим теперь сферу произвольной замкнутой поверхностью S’. Каждая силовая линия, пронизывающая сферу, пронижет и эту поверхность. Следовательно формула (13.6) справедлива не только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности. Если произвольной поверхностью окружаем n зарядов, то очевидно, что поток напряженности через эту поверхность равен сумме потоков, создаваемых каждым из зарядов, т.е.

или

(13.7)

Таким образом, полный поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на   . Это положение называется теоремой Остроградского - Гаусса. С помощью этой теоремы можно определить напряженность полей, создаваемых заряженными телами различной формы.

3. Диск весом 2 кг катится без скольжения по горизонтальному пути, делая 4 об/с. Найти кинетическую энергию диска, радиус которого R = 0,2 м.