Вопрос 12. Особые случаи постоянных рент.

1) Вечная рента - последовательность платежей, число членов которой не ограничено, то есть она выплачивается бесконечное число лет (например, выплаты по бессрочным облигационным займам).

В этом случае наращенная сумма с течением времени возрастает бесконечно.

Современная величина бесконечной ренты определяется:

Современная величина общей ренты:

2) Отложенная рента

Начало отложенной (или отсроченной) ренты отодвигается от момента заключения сделки на какой-то момент в будущем. Наращенная сумма такой ренты может быть подсчитана по известным формулам.

Срок выплаты не меняется, возвращенная величина и фактическая величина будут равны.

А ее современную величину можно определить в два этапа: сначала найти современную величину соответствующей немедленной ренты (эта сумма характеризует  ренту на момент начала ее срока), а затем с помощью дисконтирования этой величины по принятой ставке в течение срока задержки привести ее к моменту заключения договора.

3) Рента пренумерандо – рента, в которой выплаты производятся в начале каждого периода.

Различие между рентой постнумерандо и рентой пренумерандо заключается лишь в том, что у последней на один период начисления процентов больше.

Pst – постнумерандо

Pre – пренумерандо

Пренумерандо производится на основе постнумерандо:

Аналогично выводятся формулы:

В случае бессрочного аннуитета поток равных платежей через равные интервалы в течение длительного периода будет рассматриваться, как бесконечная рента.

Подразумевается, что осуществляется только один платеж.

Бессрочный аннуитет математически можно представить как бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Бессрочный аннуитет постнумерандо оценивается только по схеме дисконтирования.

13.Переменные денежные потоки

Временные интервалы между последними платежами в нерегулярном денежном потоке могут быть любыми так же, как и отдельные элементы потока. Оценки денежных потоков в этом случае получаются путем прямого счета.

Оценки переменных денежных потоков можно рассчитать как потоки pst и pre-нумерандо, а также по схемам наращения и дисконтирования. При оценке потока pst-нумерандо по схеме наращения нужно иметь ввиду, что на все элементы денежного потока с неравными поступлениями, за исключением последнего, начисляются сложные проценты:

Или

Оценка потока pst-нумерандо по схеме дисконтирования предполагает суммирование элементов приведенных денежных потоков, про этом полученная сумма характеризует приведенную или текущую стоимость денежного потока, которую при необходимости можно сравнить с величиной первоначально вложенных средств:n

Будущая стоимость исходного потока пренумерандо по схеме наращения рассчитывается по след. формуле:

где - единичный поток за год

Стоимость исходного денежного потока пренумерандо по схеме дисконтирования рассчитывается по следующей формуле:

Рассмотрим переменную ренту с разными изменениями размера платежа. Пусть общая продолжительность ренты – n. Этот срок разбит на k участков: от n до , ,…, , каждый из которых имеет продолжительность. Внутри каждого из этих участков, член ренты является постоянным и равен , где t= , ,…, - изменяется от участка к участку.

Тогда, наращенная сумма для конечной годовой ренты будет вычисляться по следующей формуле:

где

где

Рассмотрим ренту с постоянным абсолютным изменением платежей.

Пусть размер платежей изменяется с постоянным приростом a (может быть положительным и отрицательным). При ренте постнумерандо, ряд платежей имеет вид:

R, R+a, R+2a,…,R+(n-1)a

В этом случае наращенная стоимость ренты будет равна:

Современная стоимость этой ренты равна:

Если платежи осуществляются несколько раз за период, с постоянным приростом платежей, то последующие выплаты будут равны:

второй платеж:

3-й платеж:

n-й платеж:

где a- прирост платежей за год,

R- 1-й платеж.

Тогда наращенная стоимость ренты имеет вид:

Где t – номер члена ряда

Современная стоимость такой ренты:

Если платежи годовой конечной ренты изменяются с постоянным темпом d, то члены ренты будут представлять собой ряд:

R, , , …,

Величина некоторого t-го платежа будет равна: R

Для того, чтобы получить современную стоимость – этот ряд платежей надо продисконтировать.

Получим ряд: RV, Rd ,R ,…,R

В случае наращенной стоимости, такая рента имеет вид:

В случае, если платежи осуществляются несколько раз за период, то современная стоимость такой ренты будет равна:

Наращенная стоимость: