5.4 Формулы современной величины

 Обычная годовая рента

Пусть член годовой ренты равен R, процентная ставка i, проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты n. Тогда дисконтированная величина первого платежа равна

,

Где  - дисконтный множитель.

Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rv² и т.д. В итоге приведенные величины образуют  геометрическую прогрессию: Rv, Rv², Rv³, ..., Rvⁿ, сумма которой равна

(1.8)

Где   (1.9)

 - коэффициент приведения ренты.

Как видим, коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров: срока ренты n и процентной ставки i. Поэтому его значения могут быть представлены в табличном виде. Такие таблицы можно найти в книгах или построить самим на компьютере.

 Рента p-срочная, p1, m1

Аналогичные рассуждения позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений p и m

, (1.10)

от которой нетрудно перейти к частным случаям при различных  p и m.

5.5 Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты

          Пусть A - современная величина годовой ренты постнумерандо, а S - ее наращенная стоимость к концу срока n, p=1, m=1.

Покажем, что наращение процентов на сумму A за  nлет дает сумму, равную S:

           (1.11)

Отсюда же следует, что дисконтирование S даетA:

,                                                                          (1.12)

а коэффициент дисконтирования и наращения ренты связаны соотношениями:

                                                      (1.13)

.    (1.14)

11.Определение параметров финансовой ренты.

При разработке контрактов часто возникает задача определения по заданной наращенной сумме ренты или её приведенной стоимости других параметров ренты: годовой платеж(R), период ренты(n), процентная ставка(r), количество начислений процентов в год(m) и кол-во платежей в год(q).

m и q определяется по согласию сторон при разработке и подписаний контрактов. При определении R возможны два варианта расчета:

При определении n решают исходные уравнения для или

, , ,

Для того, чтобы найти r необходимо решить те же уравнения

В уравнениях единственным неизвестным является r.

Методы решения нелинейных уравнений:

1. Метод линейной интрополяции

2. Метод Ньютона-Рафсона.

1.

Y max

y

y min α

x min x x max x

, ,

Алгоритм:

1. При помощи укрупненного расчета, который основан на экспертных оценках, определяют верхнюю и нижнюю оценки процентных ставок.

2. Метод Ньютона-Рафсона:

3. При использовании этого метода решение находится интеративно, т.е. постепенно, шаг за шагом, уточняя оценку. Метод разработан для решения нелинейных уравнений.

4. Метод поиска решения сводится к 3 операциям на каждом шаге, который зависит от постановки задачи, когда задана или PV, или FV и тип ренты.

5. Пусть задана FV, а также найдена некоторая начальная оценка процентной ставки ( эксперементным методом).

6. Для годовой ренты ппостнумерандо.

m=1,q=1

, , , q=1+r

В результате получим алгоритм уточнения оценки на каждом n-ом шаге,состоящий из следующих трех операций.

,

Замечание 1: начинать оценку , которая требуется для начала интеративной процедуры, выбирают такой, чтобы соответствовал ей множитель наращения был как можно ближе к заданному(возращению) отношению

Замечение 2: остановка вычислений происходит после того, как сравнение множителя наращения и отношения свидетельствует о достижении заданной точности.

В случае общей ренты также находится решение (m,q ≠1)

Пусть есть PV и найдена подходящая начальная оценка процентной ставки.

, *(g-1),

Получим алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k, состоящий из 3-х операций:

,