Властивості логарифмічної функції.

1. Область визначення логарифмічної функції — множина всіх додатних чисел.

2. Область значень логарифмічної функції — множина всіх дійсних чисел.

3. Логарифмічна функція на всій області визначення R₊ зростає, якщо а > 1 і спадає, якщо 0 < а < 1.

1. Для будь-якого а > 0 (а≠1) виконуються рівності:

а)log_al = 0;б)log_aa= 1;

в) log_a (xy) = log_a x + log_a у, якщо x > 0, у > 0;

г) , якщо x > 0, у >0;

ґ) для будь-якого числа х > 0 і будь-якого pєR

З окремими випадками степеневої функції учні ознайомлювалися в 7 і 8 класах (у = х², у =х³ , у = ). Однак на тому етапі навчання термін «степенева функція» і відповідне означення ще не вводились, оскільки ще не відбулось розширення поняття степеня до степеня з дійсним показником.

При стало­му дійсному показнику р і змінному додатному х маємо функцію у = х^р, яку називають степеневою.

Властивості степеневої функції залежать від заданого значення р.

Доцільно розглянути різні можливі множини значень.

І. Нехай р — натуральне число.

Назвімо властивості функції.

1. Область визначення функції - множина всіх дійсних чисел. Область значень залежить від парності чи непарності р. Якщо р — парне, то область значень у=х^р є множиною невід'ємних чи­сел, а якщо непарне, то – множиною R всіх дійсних чисел.

2. Функція парна при парному р і непарна - при непарному/?.

3. При х = 0 і у = 0, при х = 1 і у = 1, тобто всі графіки степене­вих функцій проходять через початок координат і точку (1; 1).

4. При парному p функція зростає на проміжку [0; + ) і спадає на проміжку (- ; 0].

При непарному p функція зростає на всій області визначення.

5. При парному р графіки степеневих функцій схожі з графі­ком функції у = x², а при непарному - з графіком функції у=x³.

II. Нехай p - ціле від'ємне число.

У цьому випадку функція у = х^p визначена на множині всіх дійсних чисел, крім х=0. Коли p - парне від'ємне число, множиною значень функції є множина всіх додат­них чисел. Функція парна на області визначення і графік, скла­даючись з двох віток, симетричний щодо осі у; y=x^p зростає за x (- ;0) і спадає за х (0; + ). Коли р - непарне від'єм­не число, множиною значень функції є об'єднання

двох числових проміжків (- ; 0) і (0; + ). Функція непарна, спадна на всій області визначення, графік її симетричний стосов­но початку координат.

III. Нехай р - дробове додатне число, тобто р = , де т і п - натуральні числа.

З урахуванням означення степеня з дробовим показником сте­пенева функція матиме вигляд у=х = . 3 окремим випадком такої функції (у= ) учні ознайомились в курсі алгебри 8 класу.

При р = , р = степенева функція має вигляд у= , у= відповідно. Графіки двох останніх функцій схожі за формою з графіком функції y= . Неважко довести, що всі функції зроста­ючі, їхня область визначення залежить від показника кореня. Для парних п функція визначена лише для невід'ємних значень х, для непарних - за будь-якого дійсного х. У загальному випадку функ­ція у= розглядається лише при х 0.

Варто звернути увагу учнів на те, що функції у=х² і y= при х 0, у=х^з і у= при х R - взаємно обернені.