Тема 10. Метод симметричных составляющих
10.1. Оператор а трёхфазной системы
Комплексное число ej120, модуль которого равен единице, обозначим а и будем называть оператором трёхфазной системы:
a =
ej120
= e–j240
= cos120
+ j
sin120
=
|
(10.1) |
.Умножение любого вектора на а соответствует его повороту против часовой стрелки на 120° или по часовой стрелке на 240°.
Возведём оператор а в квадрат:
a2
= ej120
ej120
= ej240
= e–j120=
|
(10.2) |
.
У
множение
любого вектора на а2
соответствует
его повороту против часовой стрелки на
240° или по часовой стрелке на 120°.
1, а и а2 составляют симметричную систему единичных векторов, сумма которых равна нулю (рис.10.1):
1 + a + a2 = 0. |
(10.3) |
Можно
также доказать,
что а3
= 1,
а4
= а,
а5
=
а2
и т.д. С помощью оператора поворота можно
выразить, например,
фазные напряжения симметричной трёхфазной
системы (рис.10.2).
10.2. Симметричные составляющие несимметричных трёхфазных систем
Для анализа и расчёта несимметричных режимов в трёхфазных цепях широко применяют метод симметричных составляющих.
Рассмотрим три симметричные системы:
а) система прямой последовательности (порядок чередования фаз А, В, С), рис.10.3;
б) система обратной последовательности (порядок чередования фаз А, С, В), рис.10.4;
в) система нулевой последовательности (состоит из трёх векторов, которые совпадают по фазе), рис.10.5.
Н
айдём
сумму векторов одноимённых фаз систем
прямой, обратной и
нулевой
последовательностей (рис.10.6):
|
(10.4) |
Таким
образом, сложение
приведенных трёх
симметричных систем даёт несимметричную
систему. Возможен и
обратный вывод. Докажем,
что любую несимметричную систему
векторов
,
и
можно разложить на
симметричные системы прямой, обратной
и нулевой последовательностей. Если
это так, то уравнение
(10.4) справедливо для
любой несимметричной системы. Перепишем
уравнение (10.4),
воспользовавшись оператором а:
|
(10.5) |
Сложим эти уравнения:
|
|
Учитывая, что 1 + a + a2 = 0, находим:
|
(10.6) |
Перепишем систему уравнений (10.5), умножив второе уравнение на а, а третье на а2:
|
(10.7) |
Сложим эти уравнения:
|
|
,отсюда
|
(10.8) |
.Перепишем систему уравнений (10.5), умножив второе уравнения на а2, а третье на а:
|
(10.9) |
Сложим эти уравнения:
|
|
,отсюда
|
(10.10) |
.Таким образом, с помощью уравнений (10.6), (10.8), (10.10) любую несимметричную систему векторов можно разложить на симметричные системы соответственно нулевой, прямой и обратной последовательностей.