Тема 10

Прикладні математичні моделі фінансово-економічних процесів

План

10.1 Математичні моделі фінансових процесів

10.2 Вибір інвестиційного проекту

10.1 У фінансових розрахунках використовуються прості та складні відсотки.

У випадку простих відсотків майбутня вартість вкладу розраховується за формулою:

де Р – початкова сума вкладу,

i – річна ставка простих відсотків.

Розглянемо як формується вартість вкладу

Перший період: .

Другий період: .

n-й період: .

,

S – накопичена сума вкладу;

I – сума відсотків.

У випадку складних відсотків майбутня вартість вкладу розраховується за формулою:

,

де n – тривалість інвестування (кількість періодів платежу);

i – норма річного прибутку за державними цінними паперами та премія за ризик.

Перший період:

Другий період:

n-й період:

10.2 Проблема оцінювання майна підприємств набула особливої актуальності у зв’язку з їх приватизацією, передачею в оренду, створенням спільних підприємств тощо. Важливо оцінити майно під час підрахунку національного багатства, перебудови податкової системи. У країнах з розвинутою ринковою економікою стягуються податки на капітал (майно) у різноманітних формах. Крім того, у зв’язку з динамікою майна його потрібно весь час переоцінювати. Тому переоцінювання є не разовою, а постійною процедурою.

Приймаючи рішення про купівлю об’єкта (підприємства) та його пристосування для ведення тієї чи іншої діяльності, підприємець (покупець, інвестор) оцінює майбутні доходи від функціонування об’єкта, загальний (інтегральний) дисконтований дохід і порівнює його зі своїми інтегральними дисконтованими капітальними вкладеннями.

Важливим етапом у таких розрахунках є визначення норми дисконту R, за допомогою якої порівнюються різночасові витрати та доходи. Під нормою дисконту мають на увазі очікувану норму віддачі на альтернативні та доступні на ринку інвестиційні можливості з урахуванням ризику. Часто знаходять величину R додаванням норми безризикової віддачі (наприклад, норми річного доходу за державними цінними паперами) і так званої премії за ризик.

Фінансисти постійно розв’язують завдання визначення теперішньої вартості грошових засобів (Present Value — PV) та їхньої майбутньої вартості (Future Value — FV), тобто вартості грошей з урахуванням доданих відсоткових виплат. Зміст фінансових розрахунків зводиться до того, щоб за відомою теперішньою вартістю грошових ресурсів визначити майбутні розміри виплат, і навпаки — за відомими майбутніми доходами обчислити теперішню вартість ресурсів.

У першому випадку на теперішню вартість нараховується відсоткова ставка, у другому — з майбутньої вартості відраховується (віднімається) дисконтна (облікова) ставка.

Для підрахунку майбутньої вартості існує проста формула:

FV =K(1 + R)ⁿ,

де K — початкова сума; R — річна ставка відсотка; n — кількість років.

У свою чергу, теперішню вартість грошей визначають за формулою

де F — майбутній дохід, що надійде через п років; R — річна ставка дисконту; n — кількість років.

Обчислити PV та FV нескладно.

Рекомендуємо визначити, наприклад, ту суму грошей, яку фір­ма має покласти до банку, коли ставка складного відсотка є 12 % річних, щоб через 15 років зняти з рахунка 100 тис грн, потрібних, скажімо, для купівлі нового обладнання.

Відповідь: 18 270 грн.

Проте набагато частіше фінансовому менеджерові доводиться вирішувати складніші проблеми. Є випадки, коли він змушений визначити теперішню вартість ануїтету (Annuit) — послідовності виплат за певні регулярні проміжки часу. Ануїтетом можуть бути виплати (або інвестиції) щорічні, щопіврічні, щоквартальні, щомісячні. Кожну окрему виплату, що входить до складу ануїтету, називають його членом. Теперішню вартість річного ануїтету можна обчислити за формулою

де n — кількість років; F_i — суми, що виплачуються за і-й проміжок часу; R — ставка дисконту.

З’ясуємо, наприклад, що вигідніше: одержати 50 тис. грн відразу чи протягом п’яти років, щороку по 12 тис. грн за умови, що річна ставка становить 10 %?

Насамперед потрібно визначити теперішню вартість ануїтету за формулою (4.17):

Виконавши обчислення, побачимо, що оскільки 50 000 > 45 492, то вигідніше одержати відразу 50 тис. грн готівкою, аніж протягом п’яти років щороку — по 12 тис. грн.

Для полегшення фінансових розрахунків широко використовують таблиці, де містяться значення відсоткового чинника теперішньої вартості ануїтету (PVIFA). Для того щоб підрахувати теперішню вартість ануїтету, достатньо лише перемножити вели­чину виплат (якщо F_i однакові для всіх i = 1, …, n) на значення обраного відсоткового чинника:

PFA = a  PVIFA,

де а — величина відсоткового чинника ануїтету. Так, у щойно розглянутому прикладі замість процедури підсумовування теперішньої вартості всіх п’яти членів ануїтету досить виконати таку операцію:

12 000  3,791 = 45 492,

де 3,791 — відсотковий чинник теперішньої вартості ануїтету.

У розрахунках лімітних цін на майно підприємств важливу роль відіграє встановлення науково обґрунтованої норми (ставки) дисконту R, під якою розуміють норму доходу на альтернативні та доступні на ринку інвестиційні можливості з приблизно таким самим рівнем ризику. Це норма віддачі на вкладений капітал, яка може стимулювати інвесторів до відповідних внесків.

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Конспект лекцій з дисципліни "Моделювання економіки" для студентів усіх форм навчання спеціальності "Економічна кібернетика". Частина 1 / Упоряд. Н.Б. Івченко. – Харків: ХНУРЕ, 2008. – 45 с.

2. Конспект лекцій з дисципліни "Моделювання економіки" для студентів усіх форм навчання спеціальності "Економічна кібернетика". Частина 2 / Упоряд. Н.Б. Івченко. – Харків: ХНУРЕ, 2008. – 45 с.

3. Методичні вказівки до лабораторних робіт із дисципліни "Моделювання економіки" для студентів усіх форм навчання спеціальності "Економічна кібернетика" / Упоряд. Н.Б. Івченко, І.А. Довбня, Р.В. Петрова – Харків: ХНУРЕ, 2005.  60с.

4. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Моделювання економіки” для студентів усіх форм навчання спеціальності “Економічна кібернетика” /Упоряд. Н.Б.Івченко – Харків: ХНУРЕ, 2003. - 32с.

5. Методичні вказівки до виконання курсового проекту з дисципліни “Моделювання економіки” для студентів усіх форм навчання спеціальності “Економічна кібернетика” /Упоряд. Н.Б.Івченко – Харків: ХНУРЕ, 2005. - 24с.

8. Робоча програма, контрольні завдання та методичні вказівки до контрольних робіт з дисципліни „Моделювання економіки” для студентів заочної та дістанційної форм навчання спеціальності "Економічна кібернетика" /Упоряд. Н.Б. Івченко, В.Б. Іванова, В.О. Гелло. – Харків: ХНУРЕ, 2008.  25 с.

9. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. Пособие. – М: Финансы и статистика, 2001. – 368с.

10. Хачатрян С.Р. Прикладные методы математического моделирования экономических систем. Науч.-метод. Пособие / Московская академия экономики и права. – М.: «Экзамен», 2002. – 192с.

11. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др., Под ред. В.В. Федосеева. – М: ЮНИТИ, 1999. – 391с.

12. Івченко Н.Б. Математичні моделі та методи в менеджменті, маркетингу й економіці: Навч. посібник. – Харків: Компанія СМІТ, 2007. – 168 с.

13. Вітлінський В.В. Моделювання економіки: Навч. посібник. – К.: КНЕУ, 2003.- 408 с.

14. Клебанова Т.С., Забродский В.А., Полякова О.Ю., Петренко В.Л. Моделирование экономики. Учебное пособие. – Х.: Изд. ХГЭУ, 2001. – 140с.

15. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие. - М.: Изд-во УРАО, 1998. - 160с.

16. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математические методы и модели для магистрантов экономики: Учебное пособие. - СПб.: Питер, 2006. – 496 с.

Навчальне видання

Конспект лекцій з дисципліни "Моделювання економіки" для студентів усіх форм навчання спеціальності "Економічна кібернетика". Частина 1

Упорядник ПЕТРОВА Роксана Вадимівна