4.1 Модель поведінки споживача

4.2 Рівняння Є.Є. Слуцького

4.1 Змістовна постановка задачі споживача має вигляд.

Споживач має суму грошей і хоче її витратити з найбільшою користю для себе. Назвемо наявну суму грошей доходом споживача. Необхідно визначити, яку кількість товарів різних видів може придбати споживач на свій доход.

Математичну постановку задачі споживача можна сформулювати в такий спосіб.

Споживач хоче придбати набір товарів n видів

де D_i – кількість товару i-го виду,

щоб максимізувати свою функцію корисності Відомі ціни товарів

де р_i – ціна одиниці товару і-го виду,

Вартість товарів, що купуються, не може перевищувати доход

.

Сформульовану постановку можна записати так

Припускаємо, що функція безперервна та диференційована.

Для рішення задачі споживача можна використати функції Лагранжа або другий закон Госсена. Розглянемоаємо функцію Лагранжа

де - множник Лагранжа.

Беремо перші похідні

Прирівнюємо похідні нулеві

Перепишемо останній вираз у вигляді

Таким чином, одержуємо єдине рішення

де - функція попиту на товар і – го вигляду,

4.2 Рівняння Слуцького виведене в 1915 році вченим Є.Є Слуцьким.

Рівняння Слуцького має вигляд і показує зміну попиту на споживчий товар при зміні його ціни, але з компенсацією доходу, що дозволяє залишитися на тім же рівні корисності:

,

Тут - вектор-функція попиту на товари,

- ціна і-го товару,

- доход споживача,

- попит на товар і-го виду,

Тема 5

5 Моделі взаємодії споживачів та виробників

План

5.1 Рівновага на ринку одного товару

5.2 Павутиноподібна модель ринку

5.3 Модель Еванса

5.1 Стан ринку, при якому попит дорівнює пропозиції, називається рівнозваженим, а ціна при якій досягається рівність попиту та пропозиції, називається рівнозваженою ціною p*.

Знайдемо стан рівноваги для лінійних функцій попиту

D(p* ) = a-bp*,

і пропозиції

S(p*)= -c+dp*.

a - bp^*=- c +dp^*,

p* = .

5.2 У реальності визначення рівнозваженої ціни відбувається досвідченим шляхом. Ця процедура називається павутиноподібною моделлю ринку.

Процес відшукання рівнозваженої ціни називається «намацуванням» і є ітераційним (рис.5.1). Припустимо що в початковий момент на ринку спостерігалася нестача товарів, ціна товару дорівнювала р₀. У цих умовах виробник зацікавлений у збільшенні обсягу товару й у наступний момент викине на ринок товар в більшому обсязі, але за ціною р_{1, .} З огляду на знову сформовану ситуацію виробник товару в наступний момент викине на ринок товар у меншому обсязі. Ціна зміниться з p до p , p < p_1. Тобто одержуємо безперервне коливання навколо рівнозваженої ціни.

Рис. 5.1

Якщо в деякому околу рівнозваженої ціни процес ітерацій сходиться до стану рівноваги при будь-якому початковому значенні ціни з цього околу, то стан рівноваги називається стійким. У противному випадку стан рівноваги називається нестійким.

На рис. 5.2 показана графічна модель, у якій стан рівноваги стійкий, а ціна змінюється від найменшої ціни (ціни покупя) до найбільшої ціни (ціни торговця). Для того, щоб стан рівноваги був стійким у цій моделі, необхідно виконання умови:

_,

де - похідна функції пропозиції,

- похідна функції попиту.

Для аналітичного визначення рівнозваженої ціни зручно використати табл. 5.1.

Таблиця 5.1

p	p0	p1	p2	………….	pn
D(p)	D0	D1	D2	………….	Dn
S(p)	S0			………….

В таблиці задається початкова ціна p₀ , _, а потім обчислюються D₀ , S₀

D₀ = a-bp₀,

S₀= -c+dp₀.

Із рис. 5.2 видно, що . Звідси знаходимо нову ціну p₁

S₁= -c+dp_1,

_.

Цю ціну наносимо в таблицю 5.1 і знаходимо D₁ . Аналогічно обчислюємо інші значення цін, попиту та пропозиції. Ітераційний процес вкючає чотири-пять ітерацій.

Рис. 5.2

На рис. 5.3 показана графічна модель, у якій стан рівноваги стійкий, а ціна змінюється від найбільшої ціни (ціни торговця) до найменшої ціни (ціни покупця) Для того, щоб стан рівноваги був стійким у цій моделі, необхідно виконання умови:

_.

Для аналітичного визначення рівнозваженої ціни зручно використати табл. 5.2.

Таблиця 5.2

p	p0	p1	p2	………….	pn
D(p)	D0
S(p)	S0	S1	S2	………….	Sn

В таблиці задається початкова ціна p₀ , _, а потім обчислюються D₀ , S₀

D₀ = a-bp₀,

S₀= -c+dp₀.

Із рис. 5.3 видно, що . Звідси знаходимо нову ціну p₁

D₁ = a-bp₁,

_.

Цю ціну наносимо в таблицю 5.2 і знаходимо S₁ . Аналогічно обчислюємо інші значення цін, попиту та пропозиції. Ітераційний процес вкючає чотири-пять ітерацій.

При побудові моделі, у якій стан рівноваги нестійкий, обчислення виконуються до одержання першого негативного значення ціни, попиту або пропозиції.

5.3 У моделі Еванса розглядається ринок одного товару, час вважається безперервним. Нехай d(t), s(t), p(t) - відповідно попит, пропозиція та ціна цього товару в момент t . Попит і пропозиція вважаються лінійними функціями ціни

d(p) = а - bp,(a, b) > 0,

тобто попит з ростом ціни падає,

s(p) = +βp, < 0, β > 0,

тобто пропозиція з ростом ціни росте. Природно вважати, що a > 0, тобто при нульовій ціні попит є (по-іншому говорячи, товар бажаний).

Основне припущення складається у тім, що ціна змінюється в залежності від співвідношень між попитом та пропозицією:

∆p = y(d-s) ∆t, y > 0,

тобто збільшення ціни прямо пропорційно перевищенню попиту над пропозицією і тривалості цього перевищення.

Отже, одержуємо диференціальне рівняння

dp/dt = y(d - s).

Підставляючи в це рівняння лінійні залежності попиту та пропозиції від ціни, одержуємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з початковою умовою:

dp/dt=-γ[(b+ β)p-(а- )], p(0)=p₀, (5.1)

Видно, що dp/dt > 0 при р* > р і dp/dt < 0 при р* < р. При цьому при

р* > р ціна прагне до р* зростаючи, а при р* > р — убуваючи. Сама ціна р* єрівнозваженою ціною — при ній рівні попит та пропозиція:

р = (а- )/(b + β).

Рівнозважена ціна може бути знайдена також графічно як точка перетинання прямих попиту d(p) = a-bp і пропозиції s(p) = + βр (рис. 5.4).

Звичайний метод рішення рівняння (5.1) - метод варіації постійної. Відповідно до цього методу загальне рішення є сума загального рішення відповідного однорідного рівняння dp/dt = -у(b + β)p і якого-небудь часткового рішення неоднорідного рівняння

р(t) = p_oe +[( а-а)/(b+β)][l-e- ],

або

р(t) = p_oe +p [1-e- ].

Розглянемо дискретний аналог моделі Еванса. У дискретній моделі ринок функціонує в такий спосіб : ранком на ринку виявляються деякі пропозиція і попит . У залежності від їхніх значень ціна починає рівномірно рости або убувати: якщо ранком попит був більше пропозиції, то зростати, якщо пропозиція була більше попиту, то убувати.

Рис. 5.4

Припустимо, що початкова ціна була , при цьому _. Отже, ціна почне зростати За день вона зросте до деякого значення , при цьому знову буде і ціна буде зростати далі і далі, доки не досягне .

Тема 6

Виробничі функції та ЇХ властивості

План

6.1 Види виробничих функці

6.2 Граничний аналіз факторів

6.3 Однорідність виробничих функцій

6.4 Еластичність виробничих функцій

6.5 Заміщення факторів у виробничих функціях

6.6 Виробнича функція Кобба-Дугласа

6.1 Виробничі функції можна розділити по кількості використовуваних перемінних, по вигляду функцій і по їхніх властивостях.

Під виробничою функцією розуміють економіко-математичне рівняння, що зв'язує випуск продукції і витрати ресурсів на цей випуск. Виробничі функції по кількості факторів розрізняють:

- однофакторні: або , де - обсяг ОВФ у натуральному або вартісному вигляді за конкретний період часу, - кількість трудових ресурсів (середньосписочне число робітників, число людино-днів, тощо) за конкретний період часу,

- двофакторні: ;

- багатофакторні , де t - фактор часу, r - індекс науково-технічного прогресу.

По аналітичному вигляду розрізняють виробничі функції:

1) лінійні виробничі функції

.

Тут - обсяг випуску продукції у вартісному або натуральному вигляді за конкретний період часу.

Параметри і виражають продуктивність факторів і , тобто показують абсолютний приріст виробництва, коли один фактор залишається незмінним, а інший зростає на одиницю. Лінійні функції часто використовуються в короткостроковій і середньостроковій економічній моделях.

2) степеневі виробничі функції

,

,

Параметри і виражають еластичність рівня виробництва Х стосовно факторів і , тобто показують відносний приріст продукції, зв'язаний з відносним приростом і .

3) складні виробничі функції (CES)

,

де - параметр, що виражає еластичність заміни ОВФ і трудових ресурсів.

6.2 Передбачається, що виробничі фактори задовольняють аксіомі.

Існує підмножина простору витрат, називана економічною областю М, у якій збільшення витрат будь-якого витрат не приводить до зменшення випуску продукції. Якщо - дві точки цієї області, то приводить до .

Ця аксіома затверджує, що виробничі фактори не якась зовсім абстрактна функція, придумана теоретиками - математиками. Вона відбиває твердження, нехай і не на усій своїй області визначення, а тільки на її частині: у мало-мальськи розумній економіці збільшення витрат не може привести до зменшення випуску продукції. У диференціальній формі це виражається в тім, що в цій області перші часткові похідні функції ненегативні.

Розглянемо виробничу функцію

.

Нехай ця функція безперервна та диференційована

ці похідні називаються граничними продуктами.

Можна скласти виробничі функції даного виробництва навіть нічого не знаючи про виробництво. Треба тільки поставити на виробництві лічильник (людину або прилад), що буде фіксувати ресурси та кількість продукції, що на виробництві зроблено. Якщо нагромадити досить багато такої статистичної інформації, врахувати роботу виробництва в різних режимах, то можна прогнозувати випуск продукції, знаючи обсяг ресурсів, а це і є виробнича функція.

6.3 Поняття «однорідність виробничої функції» містить у собі наступна її властивість: рівномірне збільшення усіх виробничих факторів викликає пропорційне збільшення продукції. Виразимо цю властивість математично:

функція однорідна в ступені h. якщо

,

де ( , h)>0.

Таким чином, коли кожна незалежна змінна приймає значення , значення функції зростає в раз.

Величина показує ступінь використання виробничих факторів або їхню ефективність. У випадку, коли , ефективність виробничих факторів дорівнює 1, при говорять, що виробничі фактори мають зростаючу ефективність і відповідно при ефективність факторів знижується (рис. 6.1).

Рис. 6.1

6.4 Еластичністю економічного показника називається його здатність реагувати в більшому або меншому ступені на зміну іншого показника.

Визначимо еластичність обсягу виробництва по деякому факторі. Розрахуємо частковий коефіцієнт еластичності Х за основними фондами :

.

Тут безперервна та диференційована функція по та L.

Тому що на практиці ця умова виконується рідко, то часто коефіцієнт еластичності виражається через прирости. В дискретній формі частковий коефіцієнт еластичності виражається формулою:

.

Частковий коефіцієнт еластичності Х за трудовими ресурсами L дорівнює:

.

В дискретній формі частковий коефіцієнт еластичності виражається формулою:

.

Частковий коефіцієнт еластичності показує на скільки відсотків зміниться обсяг випуску продукції, якщо відповідний виробничий фактор зміниться на один відсоток.

Для функції параметри і є частковими коефіцієнтами еластичності

, .

Припустимо, що кожен виробничий фактор виріс на %, тоді значення цих факторів дорівнюють:

; .

Величина кінцевого продукту обчислюється за формулою:

При кінцевий продукт зростає більше чим на r%, при - менше, ніж на %, а при - на %.

6.5 Поняття заміщення ґрунтується на припущенні, що виробничі фактори можуть заміняти один одного, і показує, як при незмінній величині продукції можна змінювати співвідношення між факторами. Для можна порушити питання, як має змінитися кількість трудових ресурсів при деякій зміні обсягу ОВФ, щоб величина зробленого продукту залишилася незмінною. Оцінка заміщення і визначається як відношення двох граничних величин і називається граничною нормою заміщення

.

Розрізняють виробничі функції із взаємозамінними факторами (рис. 6.4, а) та із факторами, що доповнюють (рис. 6.4, б).

а) б)

Рис.6.4

На рисунку 6.4 зображені ізокванти виробничих функцій. Кожна точка показує значення продукту, одержаного за допомогою комбінації факторів . Безліч цих точок лежить на поверхні, називаною поверхнею виробничих функцій. Перетинання цієї поверхні з площинами, рівнобіжними площинам , утворять криві, називані ізоквантами. Кожна точка на цих кривих дає комбінацію виробничих факторів, що відповідають однаковому значенню виробничих функцій.

Якщо виробничі фактори можна заміняти лише у фіксованих пропорціях, то говорять, що виробничі функції володіють нульовою граничною нормою заміщення.

6.6 Виробнича функція Кобба-Дугласа (CDPF) належить до найбільш відомих, широко застосовуваних функцій

,

(a,α,(1-α))>0, α<1.

Вчені Кобб і Дуглас зробили спробу оцінити значення степенової виробничої функції

, ,

використовуючи дані по американській обробній промисловості за період з 1899 по 1922 роки – індекс виробництва Х, індекс основного капіталу , індекс праці . Вони прийшли до висновку, що

,

(у такий спосіб має місце незмінний ефект масштабу). З тих пір формула

,

,

для якої називають функцією Кобба-Дугласа.

З часом функція перетерпіла зміни

,

де - темп науково-технічного прогресу,

t – час.

При

.

Знайдемо тепер часткові коефіцієнти еластичності продукції за основними фондами

,

та за трудовими ресурсами

Прологарифмуємо CDPF

.

Тепер виробнича функція Кобба-Дугласа має лінійний вигляд.

При збільшенні кожного виробничого фактора на m відсотків обсяг випуск упродукції також збільшується на m відсотків

,

Знайдемо граничні норми заміщення основними фондами трудових ресурсів по формулі:

.

а трудовими ресурсами основних фондів по формулі:

.

Тема 7

Моделювання поведінки виробників

План