3. Познавательные

Учащиеся научатся:

• выделять существенное и несущественное в тексте задачи, составлять краткую запись условия задачи;

• моделировать условия текстовых задач освоенными способами;

• сопоставлять разные способы решения задач;

• использовать обобщённые способы решения текстовых задач (например, на пропорциональную зависимость);

• устанавливать закономерности и использовать их при выполнении заданий (продолжать ряд, заполнять пустые клетки в таблице, составлять равенства и решать задачи по аналогии);

• осуществлять синтез числового выражения (восстановление деформированных равенств), условия текстовой задачи (восстановление условия по рисунку, схеме, краткой записи);

• конструировать геометрические фигуры из заданных частей; достраивать часть до заданной геометрической фигуры; мысленно делить геометрическую фигуру на части;

• сравнивать и классифицировать числовые и буквенные выражения, текстовые задачи, геометрические фигуры по заданным критериям;

• понимать информацию, представленную в виде текста, схемы, таблицы, диаграммы; дополнять таблицы недостающими данными, достраивать диаграммы;

• находить нужную информацию в учебнике.

Учащиеся получат возможность научиться:

• моделировать условия текстовых задач, составлять генеральную схему решения задачи в несколько действий;

• решать задачи разными способами;

• устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения, проводить аналогии и осваивать новые приёмы вычислений, способы решения задач;

• проявлять познавательную инициативу при решении конкурсных задач;

• выбирать наиболее эффективные способы вычисления значения конкретного выражения;

• сопоставлять информацию, представленную в разных видах, обобщать её, использовать при выполнении заданий; переводить информацию из одного вида в другой;

• находить нужную информацию в детской энциклопедии, Интернете;

• планировать маршрут движения, время, расход продуктов;

• планировать покупку, оценивать количество товара и его стоимость;

• выбирать оптимальные варианты решения задач, связанных с бытовыми жизненными ситуациями (измерение величин, планирование затрат, расхода материалов).

4. Коммуникативные

Учащиеся научатся:

• сотрудничать с товарищами при выполнении заданий в паре: устанавливать очерёдность действий; осуществлять взаимопроверку; обсуждать совместное решение (предлагать варианты, сравнивать способы вычисления или решения задачи); объединять полученные результаты (при решении комбинаторных задач);

• задавать вопросы с целью получения нужной информации.

Учащиеся получат возможность научиться:

• учитывать мнение партнёра, аргументировано критиковать допущенные ошибки, обосновывать своё решение;

• выполнять свою часть обязанностей в ходе групповой работы, учитывая общий план действий и конечную цель;

• задавать вопросы с целью планирования хода решения задачи, формулирования познавательных целей в ходе проектной деятельности.

К программе разработана следующая учебная литература:

1 класс

М.И. Башмаков, М.Г.Нефедова. Математика. 1 класс. Учебник. В 2 ч.

М.И. Башмаков, М.Г.Нефедова. Математика. 1 класс. Рабочие тетради № 1, № 2

М.Г.Нефедова. Дидактические игры по математике. 1 класс. Разрезной материал

М.И. Башмаков, М.Г.Нефедова. Обучение в 1 классе по учебникам «Математика». Методическое пособие

2 класс

М.И. Башмаков, М.Г.Нефедова. Математика. 2 класс. Учебник. В 2 ч.

М.И. Башмаков, М.Г.Нефедова. Математика. 2 класс. Рабочие тетради № 1, № 2

М.И. Башмаков, М.Г.Нефедова. Обучение во 2 классе по учебникам «Математика». Методическое пособие

3 класс

М.И. Башмаков, М.Г.Нефедова. Математика. 3 класс. Учебник. В 2 ч.

М.Г.Нефедова. Математика. 3 класс. Рабочие тетради № 1, № 2

М.И. Башмаков, М.Г.Нефедова. Обучение в 3 классе по учебникам «Математика». Методическое пособие

4 класс

М.И. Башмаков, М.Г.Нефедова. Математика. 4 класс. Учебник. В 2 ч.

М.И. Башмаков, М.Г.Нефедова. Математика. 4 класс. Рабочие тетради № 1, № 2

М.И. Башмаков, М.Г.Нефедова. Обучение в 4 классе по учебникам «Математика». Методическое пособие

Лекция 8

Анализ современных программ и учебников по математике.

Классическая система: особенности построения программ и учебников.

Особенности учебно-методического комплекта «Гармония».

Учебно-методический комплект «Гармония» для четырехлетней начальной школы создан на кафедре методики начального обучения Московского государственного открытого педагогического университета им. М.А. Шолохова.

Авторы комплекта: доктор педагогических наук, профессор Н.Б. Истомина (математика).

Входящие в комплект «Гармония» учебники, учебники-тетради и тетради с печатной основой являются результатом многолетнего научно-методического поиска путей совершенствования начального образования, который осуществлялся авторами комплекта.

• В связи с этим первой особенностью комплекта «Гармония» является его направленность на преодоление объективно сложившегося разделения традиционной и развивающих систем учения на основе органичного соединения подтвердивших свою жизненность положений традиционной методики и новых подходов к решению методических проблем.

• Вторая особенность комплекта находит выражение в методическом воплощении в нем основных направлений модернизации школьного образования (гуманизации, гуманитаризации, дифференциации, деятельностного и личностно-ориентированного подхода к процессу обучения).

Методическая интерпретация современных тенденций развития начального образования и их реализация в учебниках позволяет рассматривать каждый предметный учебно-методический комплект, входящий в «Гармонию», как модель учебного процесса, как источник интеллектуального и эмоционального развития ребенка, его познавательных интересов, умения общаться со взрослыми и сверстниками, как возможность полнее выразить свои мысли и чувства. Реализованные в учебниках методические подходы к организации учебной деятельности школьников создают условия для понимания ребенком

изучаемых вопросов, для гармоничных отношений учителя с учеником и детей друг с другом, обеспечивают ситуации успеха за счет мер по целенаправленному преодолению трудностей обучения. В числе этих мер следует назвать:

1) логику построения содержания курсов, нацеленных на усвоение понятий и общих способов действий, которая на доступном для младшего школьника уровне обеспечивает осознание им причинно-следственных связей, закономерностей и зависимостей в рамках содержания каждого учебного предмета;

2) способы, средства и формы организации учебной деятельности младших школьников;

3) систему учебных заданий, которая учитывает как особенности содержания учебных предметов, так и психологические особенности младших школьников и соблюдает баланс между логикой и интуицией, словом и наглядным образом, осознанным и подсознательным, догадкой и рассуждением. Специфика содержания каждого учебного предмета находит отражение в его методической концепции и способах ее реализации.

Математика

В основу построения курса положена методическая концепция целенаправленной работы по формированию у младших школьников приемов умственной деятельности: анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии и обобщения в процессе усвоения математического содержания, предусмотренного программой.

Реализация данной концепции обеспечивается:

1. Тематическим построением курса, создающим условия для осознания школьниками связей между новыми и ранее изученными понятиями, для осуществления продуктивного повторения, для активного использования в процессе обучения приемов умственной деятельности.

2. Новым методическим подходом к изучению математических понятий, свойств и способов действий, в основе которого лежит установление соответствия между предметными, словесными, графическими (схематическими) и символическими моделями, их выбор, преобразование и конструирование в соответствии с заданными условиями.

3. Новым методическим подходом к формированию вычислительных навыков и умений, который создает условия не только для повышения качества вычислительной деятельности младших школьников, но и для развития их мышления.

4. Новым методическим подходом к обучению младших школьников решению текстовых задач, в соответствии с которым дети знакомятся с текстовой задачей только после того, как у них сформированы те знания, умения и навыки (навыки чтения, усвоение конкретного смысла действий сложения и вычитания, приобретение опыта в соотнесении предметных, словесных, схематических моделей, знакомство со схемой как способом моделирования), которые необходимы им для овладения умением решать текстовые задачи.

5. Включением в учебник диалогов между Мишей и Машей, с помощью которых детям предлагаются для обсуждения варианты ответов, высказываются различные точки зрения, комментируются способы математических действий, анализируются ошибки. Диалоги помогают учителю не только привлечь учащихся к обсуждению того или иного вопроса, но и самому включиться в эту работу, заняв тем самым позицию не контролирующего, а помогающего детям и сотрудничающего с ними.

Тщательная проработка концептуальных идей во всех учебниках комплекта «Гармония» и оснащение их методическими рекомендациями, разъясняющими учителю эти идеи, позволяет рассматривать комплект «Гармония» как средство повышения уровня профессиональной компетентности учителя и формирования у него нового педагогического сознания, адекватного современным тенденциям развития начального образования. В этом заключается четвертая особенность учебно-методического комплекта «Гармония». методический комплект по математике для четырехлетней начальной школы (автор Н.Б. Истомина) удостоен премии Правительства РФ в области образования за 1999 год.

Лекция 9

Дидактическая система Л.В. Занкова: особенности построения программ и учебников.

Дидактическая система Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова: особенности построения программ и учебников.

Возможности реализации Федерального государственного образовательного стандарта средствами математики.

Авторы: Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, Э. И. Александрова,

В основу новых Федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС) положен культурно-исторический системно-деятельностный подход (Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, Д.Б. Эльконин, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов и их ученики и последователи), согласно которому содержание образования проектирует определенный тип мышления. Ориентация на развитие теоретического типа мышления предполагает построение учебных предметов как систему научных понятий, усвоение которых напрямую зависит от формирования учебной деятельности и организации системы учебных действий школьника.

В концепции образовательных стандартов подчеркивается, что обучение осуществляет свою ведущую роль в умственном развитии, прежде всего, через содержание, которое в свою очередь определяет методы, формы организации и общения учащихся, характер дидактических материалов и другие стороны учебного процесса.

Программа основана на идеях научной школы, созданной Д. Б. Элькониным и В. В. Давыдовым. Их содержание и логика изначально были ориентированы не только на достижение предметных, личностных и метапредметных результатов, но и на формирование разных компетенций младших школьников.

Содержание курса математики представлено целостной системой специальных (ключевых) учебно-практических задач, с которых и начинается всякая новая тема, а не набором заданий развивающего характера.

Условие решения таких задач либо воссоздают ситуации, в которых исторически зарождалось то или иное понятие (к примеру, понятие числа), либо задают реальные жизненные ситуации (к примеру, введение смысла умножения), что по замыслу разработчиков ФГОС дает возможность получить метапредметные результаты. Более того, решение подобных задач с неизбежностью требует организации коллективно-распределенных форм деятельности, что создает оптимальные условия для получения предметных, метапредметных и, конечно, личностных результатов обучения, для формирования универсальных учебных действий. Это означает, что знания не должны даваться ему в готовом виде. Они должны быть получены в совместной деятельности с другими детьми и учителем как организатором и соучастником процесса обучения.

Основным математическим понятием, определяющим главное содержание данной программы и всего курса школьной математики в целом, является «действительное число», представленное в начальной школе в виде целого неотрицательного числа.

Существуют разные точки зрения относительно изучения этого базового математического понятия в начальной школе. Однако главное отличие наших программ от аналогичных состоит в том, что они опираются на исторический подход при изучении основного математического понятия – понятия числа, рассматривая его не как результат счета, а как результат практического действия измерения величины ( В.В. Давыдов)

Измерение величин, в отличие от счета предметов, требует организации практических действий, и не в одиночку, а совместно с другими детьми, т. е. в коллективно-распределенной, групповой форме деятельности, вынуждает ребенка общаться, действовать руками, что является основой для развития моторики, коммуникативных умений, расширения познавательных интересов, установления межпредметных связей.

Операцией, специфической для способа измерения величин, является «откладывание» единицы измерения (мерки) на измеряемой величине и счет таких «откладываний». Число в этом случае является характеристикой величины и зависит не только от измеряемой величины, но и от выбранной мерки. Меняя условия, при которых с помощью практических действий решается задача измерения и обратная ей задача построения (воспроизведения) величины посредством «откладывания» мерок (единиц измерения), учащиеся будут «выращивать» различные виды чисел, знакомясь с общепринятыми способами их обозначения. Ориентация на обобщенные способы действий является одной из новых задач ФГОС.

Последовательность изучения величин, лежащих в основе понятия числа, в двух наших программах разная, как различна и их наполненность. Основным средством, фиксирующим результаты сравнения величин, их сумму и разность, служат различные графические модели: схема, числовая прямая, числовой луч, а начиная со 2 класса, вводятся диаграммы, использование которых впервые рекомендовано в начальной школе. Опора на графическую модель, так же как и на знаковую (формулу), позволяет изучить отношения равенства-неравенства, частей и целого, которые служат основой при обучении решению текстовых задач и уравнений. Предлагая уже с первого класса задачи с буквенными данными, ученик ставится в ситуацию поиска необходимых сведений (информации), анализа сюжета задачи для подбора «подходящих» чисел, а к 4 классу ученик столкнется с задачами-ловушками, к которым отнесем задачи с лишними данными, с недостающими данными и др. Именно они дают возможность ученику оценить потребность в дополнительной информации, определить ее возможные источники, про- анализировать ее. Работа с информацией как раз и отличает новые подходы в обучении не только математике, но и другим предметам, что в итоге дает возможность формировать информационную, а значит, и компьютерную грамотность.

Все понятия, как уже было сказано выше, в том числе и базовые понятия величины и числа, вводятся через учебно-практические задачи. Так, в 1 классе это задачи, в которых необходимо подобрать предмет, обладающий, изучаемым свойством, а затем, когда речь пойдет о величине, нужно непосредственно измерить ее соответствующей меркой. Результатом измерения всякий раз будет являться число. Процесс измерения и его результат описываются с помощью графических моделей (схем), в частности числового луча и числовой прямой.

Сравнение, сложение и вычитание величин и чисел, которые их характеризуют, с опорой на числовую прямую, служат общим основанием к конструированию арифметических действий с любыми числами.

Использование числовой прямой (а не числового луча) в качестве основной графической модели дает возможность заложить общие подходы для изучения арифметических действий по отношению не только к целым неотрицательным числам, хотя именно они являются носителями этих общих способов действий с числами, но и к другим видам чисел.

Так, например, способы сравнения, сложения и вычитания чисел с помощью числовой прямой (точнее, двух числовых прямых) позволяют без проблем ввести аналогичные операции над положительными и отрицательными числами в основной школе.

Для знакомства с десятичным принципом образования многозначных чисел дети, как и ранее, обращаются к задаче измерения: сначала они измеряют длину, теперь будут измерять площадь. Измерение и построение величин по частям с помощью системы мерок (длины, площади) дает возможность перейти к табличной форме записи чисел, позволяя сравнивать их между собой без построения самих величин. Замена системы мерок для измерения длины (площади) С произвольной основной (исходной) меркой и постоянным отношением между ними, в том числе с отношением кратным 10, позволяет «оторвать» число от числового значения величины (именованного числа) и рассмотреть многозначные числа как результат измерения величины любой системой мер (и десятичной в частности). Осознав основной принцип образования многозначного числа (в пределах 4 и более разрядов), можно перейти к изучению сложения и вычитания многозначных чисел «столбиком».

Методика обучения действиям с многозначными числами опирается на использование предметных моделей (плоских геометрических фигур) для обнаружения основного принципа выполнения любого арифметического действия — принципа поразрядности.

Общий подход к выполнению любого арифметического действия позволяет значительно облегчить формирование прочных вычислительных навыков. Особое внимание уделено работе над приемами составления и запоминания таблиц сложения (а затем по аналогии и таблиц умножения) всех однозначных чисел. Овладение обобщенным способом выполнения письменных вычислений дает возможность оценить границы применения этого способа, что является основой для классификации устных и письменных вычислений. Для проверки вычислений в тех случаях, когда ученик сомневается, ему предлагается использовать калькулятор.

Для того, чтобы смысл одного из важнейших математических понятий – понятие умножения, не был подвергнут ревизии в основной школе, рассматривают его как особое действие, связанное с переходом в процессе измерения величин к новым меркам (В. В. Давыдов). Становится очевидным, что при таком предметном смысле действия умножения произведение может быть найдено (вычислено) разными способами, в зависимости от того, какие числа получились в результате измерений.

Как и при изучении сложения и вычисления, изучение умножения и деления (как обратного действия) строится с опорой на графическую и предметную модель. Такой подход дает возможность значительно упростить методы обучения решению текстовых задач, задавая обобщенный способ работы над ними (не от действий к выражению, а от выражения к действиям), суть которого заключается в отображении отношений между величинами с помощью всего двух схем (для сложения/вычитания и умножения/деления).

Геометрическая линия рассматривается без отрыва от числовой прямой, являясь основой символического описания отношений между величинами и отношений между числами как характеристиками величин. Это значит, что различные геометрические фигуры (отрезок, прямоугольник, круг и т. д.) нужно использовать в качестве графических моделей, что дает возможность осознать геометрические формы не только как образы предметов окружающего мира, но и как математические модели. Происходит перенос свойств одного образа на другой, что является основой для понимания математики, основой метода познания реальной действительности, основой формирования универсальных учебных действий (в том числе формирования общего умения решать задачи). Именно такие цели сформулированы в концепции ФГОС нового поколения.

Новый раздел «Работа с информацией» изучается, как и рекомендовано, на основе содержания всех других разделов курса математики, однако наиболее ярко он представлен при обучении решению текстовых задач с буквенными данными, о чем было сказано выше. Это работа и с диаграммами, и с различными таблицами, кодирование и декодирование информации, полученной при составлении справочника ошибок и последующей работе с ним.

Характер заданий, включенных в учебник, их построение и подбор основаны на принципе составления обратной задачи по отношению к данной. Среди этих заданий есть и те, которые дадут возможность учителю диагностировать сформированность у учащихся метапредметных и предметных компетенций. Прежде всего, это так называемые задания с ловушками, задания на до определение условий, на поиск общего в различном, на выбор способов действий и др.

Предлагаемое математическое содержание позволяет организовать обучение в форме учебно-поисковой деятельности, которая по своей сути является коллективно-распределенной. Необходимым условием такой деятельности является развертывание учебного диалога, который неизбежно приводит к интенсивному развитию речи, оказывая значимое влияние не только на коммуникативное и личностное развитие ребенка, но и на не менее важное социальное развитие. Решение одной и той же задачи разными группами детей (особенно в первый год обучения) позволяет сопоставить и критически оценить особенности их подходов, что в свою очередь рождает у детей взаимный интерес к работе друг друга. Это означает, что учитель получает возможность научить младшего школьника думать, строить рассуждения, аргументировать свою точку зрения, различать обоснованные и необоснованные суждения, вести поиск информации, решать учебные и практические задачи средствами математики, что и составляет умение учиться (учить самого себя).

Факторами, определяющими эффективность предлагаемого подхода к обучению математики для реализации целей ФГОС, являются:

1) особенности математического содержания и логика построения курса, позволяющие формировать учебную деятельность;

2) использование квазиисследовательского метода в обучении;

3) организация коллективно-распределенных форм деятельности;

4. система отношений детей между собой и с взрослыми: учителями и родителями.