1.1.5. Кинематические уравнения при различных видах движения

Основные соотношения кинематики для равномерного прямолинейного движения.

Ускорение  а = 0,   скорость  ,    путь  ,

координата  , где x₀ – начальная координата тела на оси ОХ. Путь всегда положителен, координата может быть и положительной, и отрицательной. Если направление скорости совпадает с направлением оси ОХ, то в формуле для координаты перед скоростью ставится знак плюс. Если скорость противоположна направлению оси ОХ, то ставится знак минус.

Основные соотношения кинематики для прямолинейного равноускоренного движения.

Ускорение  ,   скорость   ,    путь  ,

координата  .

Основные соотношения кинематики для прямолинейного равнозамедленного движения.

Ускорение  ,    скорость  ,    путь  ,

координата  . Если знак минус вынесен перед ускорением (движение замедленное), то значение ускорения берется по модулю.

Рисунок 1.1.5. – Движение тела, брошенного под углом   к горизонту

Баллистическое движение.

Тело, брошено под углом   к горизонту и движется в поле тяжести Земли. Начальная скорость тела равна    (рисунок 1.1.5.). Сопротивлением воздуха пренебречь. Определить:

1. время подъема  ;

2. максимальную высоту подъема  ;

3. время падения  ;

4. общее время движения  ;

5. дальность полета S;

6) скорость в конечной точке траектории  ;

7) угол  , который вектор скорость в конечной точке составляет с горизонтом;

8) угол   между вектором скорости и горизонтом в любой момент времени  ;

1. уравнение движения  .

Ответы:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  ;

6) 

7)  ;

8) 

9)

Равномерное вращение

Равноускоренное вращение       

Равнозамедленное вращение       

Неравномерное вращение.

Ускорение:  .

Скорость:   угловая  ,    линейная  .

Угловое перемещение: .

Сила.

Силой называется векторная величина  , являющаяся мерой воздействия одного тела на другое. Механическое взаимодействие может осуществляться как между непосредственно контактирующими телами (сила трения, сила реакции опоры и т.д.), так и между удаленными телами. Взаимодействия между удаленными телами осуществляется посредством физических полей (гравитационные силы, электромагнитные силы). Особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действие одних частиц на другие, называется физическим полем, или просто полем.

Принцип суперпозиции.

Эксперименты показывают, что результат взаимодействия данного тела с несколькими телами определяетсяпринципом суперпозиции (принципом независимости действия сил). Согласно этому принципу результирующая (равнодействующая) сила, с которой несколько тел действуют на заданное тело, равна геометрической (векторной) сумме сил, с которыми каждое из тел действует на него:  .

Система тел.

Совокупность нескольких материальных точек (или тел) называется механической системой.

Силы, действующие на тело или систему тел, можно разделить на внешние и внутренние. Внутренние силы – силы, действующие на точку или тело со стороны точек или тел, входящих в рассматриваемую систему. Тела, не входящие в состав исследуемой механической системы, называются внешними телами и силы, действующие с их стороны, – внешними (сторонними) силами.

Система, на которую не действуют внешние силы, называется изолированной или замкнутой.

Масса.

а) Масса определяет гравитационные свойства тела, т.е. силы, с которыми оно притягивается к другим телам, в частности, к Земле.

б) Масса характеризует инерционные свойства тела (инертность тела), т.е. способность тела сохранить состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Отсюда определение: масса – мера инертности.

Центром масс системы материальных точек  называется точка, радиус–вектор которой равен  , где mi ,   – соответственно масса и радиус–вектор i–ой точки системы, m = m₁+m₂+…+m_N – масса всей системы. Радиус–векторы    проведены из центра системы отсчета, i = 1, 2,….N.

Импульс.

Импульсом материальной точки называется векторная величина, равная произведению ее массы на ее скорость:  . Импульс   – вектор, по направлению совпадающий с направлением скорости  .

Импульсом системы  материальных точек называется вектор, равный геометрической (векторной) сумме импульсов всех материальных точек системы:

.

Используя понятие центра масс, импульс системы равен произведению массы всей системы на скорость ее центра масс  .

Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя материальными точками, расположенными на расстоянии  , определяется законом Всемирного тяготения:  . Величина G = 6,67•10^-11   (СИ) – универсальная постоянная, определяющая величину гравитационных сил.

Гравитационные силы – силы притяжения.

Однородная сила тяжести:  , где m – масса тела, g – ускорение силы тяжести.

Упругая сила – сила, зависящая от смещения точки из положения равновесия и направленная к положению равновесия:  , где k – коэффициент жесткости пружины (стержня), Δl – величина упругой деформации. Знак минус означает, что противоположны направления изменение длины пружины (стержня) и силы упругости.

Сила сопротивления действует на тело при его поступательном движении в газе или жидкости. Направление силы сопротивления всегда противоположно направлению движения тела. Обычно в задачах указывается зависимость силы сопротивления от различных параметров.

Силы реакции связей. Связью называется тела, препятствующие передвижению данного тела. Тело действует на связь, связь действует на тело (3-й закон Ньютона) с силой, называемой реакцией связи. Пример: человек сидит на стуле. Сила, с которой человек действует на опору (стул), называется весом человека и приложена к стулу. Сила, с которой стул действует на человека, называется силой реакции опоры и приложена к человеку.

Реакция идеальной связи направлена по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке их касания.

Сила трениявозникает при непосредственном соприкосновении тел и всегда направлена вдоль поверхности соприкасающихся тел. Различают три вида сил трения.

Сила трения покоядействует на неподвижное тело и направлена в сторону, противоположную предполагаемому движению тела, если бы не было трения,   ,  где   – коэффициент трения покоя, N – сила реакции опоры.

Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого, равна:  , где μ – коэффициент трения, зависящий от соприкасающихся поверхностей, N – сила реакции опоры. Сила трения скольжения направлена в сторону, противоположную направлению движения данного тела относительно другого тела.

Сила трения качения ,  где   – коэффициент трения качения, r – радиус катящегося тела,N – сила реакции опоры в точке соприкосновения тела и опоры.

Выталкивающая сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости или газа, в которых находится данное тело:  , где   – плотность среды,   V – объем тела, g – ускорение свободного падения.

Первый закон Ньютона.

Всякая материальная точка или тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока на них не действуют силы или действие сил скомпенсировано.

Системы, в которых выполняется первый закон Ньютона, называются инерциальными. Системы, в которых не выполняется первый закон Ньютона, называются неинерциальными. Инерциальных систем бесконечно много. Любая система, движущаяся относительно данной инерциальной системы равномерно и прямолинейно, является также инерциальной системой.

Второй закон Ньютона.

Скорость изменения импульса   материальной точки равна действующей на нее силе:  .

Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил, то изменение её импульса происходит под действием равнодействующей силы (принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил на тело)    . Ниже даны разные формы записи второго закона Ньютона.                                                       

Второй закон Ньютона  в проекциях на координатные оси:

Второй закон Ньютона в проекциях на касательное и нормальное направления к траектории в данной точке:

,      ,

 где Fτ, Fn – проекции вектора силы   на нормальное и тангенциальное (касательное) направления.

, где   – импульс силы,   – изменение импульса тела.

Третий закон Ньютона.

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине, направлены в противоположные стороны  .

 – сила, действующая со стороны второго тела на первое, приложена к первому телу,   – сила, действующая на второе тело со стороны первого, приложена ко второму телу. По модулю эти силы равны:  = .

Момент силы, действующий на твердое тело, относительно точки вращения (полюса) называется векторная величина, равная векторному произведению радиус–вектор на направление силы  . Проекция этого вектора на ось, проходящую через центр вращения , называется моментом силы относительно оси вращения.

Момент силы, действующий на твердое тело, относительно неподвижной оси вращения Z равен  , где   – плечо силы (перпендикуляр, опущенный от оси вращения на направление силы, действующей на тело). Направление момента сил определяется правилом буравчика.

Результирующий момент нескольких сил, действующий на твердое тело и вызывающий его вращение вокруг оси, равен геометрической сумме моментов сил:  , где N – число действующих на тело сил.

Момент импульса материальной точки (тела) относительно неподвижной оси  Z называется величина, равная проекции на эту ось вектора момента импульса тела относительно какой–либо точки О, принадлежащей этой оси:  ;  ,   – соответственно масса тела  и его скорость,   – радиус–вектор от точки О до тела.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения Z называется физическая величина, численно равная произведению массы точки на квадрат расстояния точки до оси вращения  .

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до оси вращения:   .

Моменты инерции тел относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

Полый тонкостенный цилиндр радиуса R и массыm:

Сплошной цилиндр (диск) массы m и радиуса R:

Стержень длиной l и массыm:

Шар массы m  и

радиуса R:

Теорема Штейнера.

Момент инерции тела относительно произвольной оси АА' равен сумме момента инерции тела относительно оси ОО', проходящей через центр масс тела и параллельной данной оси АА', и произведения массы тела как целого на квадрат расстояния d между этими осями:  .

Второй закон Ньютона для вращательного движения (основное уравнение вращательного движения).

Производная по времени от момента импульса   частицы относительно точки О (полюса) равна моменту равнодействующей силы относительно той же точки:  .

Если спроектировать основное уравнение на выделенную ось вращения Z, то получим закон Ньютона для вращательного движения относительно оси вращения 

Учитывая, что  , для основного уравнения динамики вращательного движения получаем:  , где   – угловое ускорение.

Работа постоянной силы.

Работой   постоянной силы называется скалярное произведение вектора силы   и вектора перемещения  :

; где  .

Работа  – скаляр.

Если на тело действует несколько сил (N – число сил), и вектор перемещения тела равен  , то совершаемая работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из действующих на тело сил на этом перемещении.

.

Работа переменной силы.

Е сли рассматриваемый участок траектории разбивается на большое число элементарных участков, то длина пути элементарного участка будет близка к величине перемещения на этом участке  . Путь ограничен точками С и D (рисунок 1.2.1.).

Рисунок 1.2.1. – Зависимость переменной силы от пути

При бесконечно большом количестве участков, на которое разбивается путь ( ), приращения величин перейдут в бесконечно малые величины  ,  , а работа переменной  силы на участке пути   выражается  криволинейным интегралом:  , где ,  . Если силу разложить на касательную и  нормальную составляющие, то работу составляет только  – касательная составляющая силы, направленная по касательной в каждой точке траектории.

Силы, работа которых по замкнутому контуру равна нулю, называются потенциальными. В механике к потенциальным силам относятся сила тяжести и сила упругости.

Работа внешних сил при вращательном движении.

Полная работа внешних сил за малое время   при вращательном движении тела равна произведению момента этих сил относительно оси вращения на элементарный угол поворота тела за время действия сил: 

Если момент сил зависит от времени, т.е.  , и полная работа внешних сил за время t равна   .

Мощность.

Отношение работы к промежутку времени, в течение которого она совершена, называется средней мощностью N за время Δt:   .

Мгновенной мощностью называется производной по времени от работы силы  :    , т.е. мощность равна скалярному произведению действующей силы на скорость тела или системы.

Энергия.

Физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершить работу, называется энергией.

Формы движений в природе различны. Для количественного сравнения разных форм движений и служит понятие энергии.Механическая энергия может быть обусловлена:

– или движением тела с некоторой скоростью (кинетическая энергия),

– или расположением данного тела в системе других тел определенной конфигурации (потенциальная энергия).

Механическая энергия  равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

Кинетическая энергия.

Кинетической энергией тела называется энергия его механического движения.

Изменение кинетической энергии тела под действием силы равно работе этой силы:

, гдеm – масса тела,   – начальная скорость,   –конечная скорость.

Кинетическая энергия движущегося тела равна   . Если тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю.

Кинетическая энергия механической системы равна сумме механических энергий всех частей системы.

Полная кинетическая энергия вращающегося тела равна:    , где   – момент инерции тела относительно оси вращения.

Потенциальная энергия.

Потенциальная энергия – энергия, определяемая взаимным расположением тел или отдельных частей тела относительно друг друга, т.е. потенциальная энергия зависит от конфигурации системы.

Соотношение, связывающее работу потенциальной силы с изменением потенциальной энергии системы, имеет вид:  ,где   – приращение потенциальной энергии.

Потенциальная энергия тяготения.

Когда тело перемещается вблизи Земли, то говорят, что тело двигается в силовом поле тяготения Земли или впотенциальном поле Земли. Потенциальная энергия тяготения равна:  ,где h – расстояние между телом и Землей. Для потенциальной энергии обязательно указывается нулевая конфигурация системы, т.е. точка, где  .

Потенциальная энергия упругости.

В растянутой (или сжатой) пружине на каждую ее точку действует сила упругости, в этом случае можно говорить опотенциальном поле сил  упругости. Потенциальная энергия упругости равна  , где х – изменение длины растянутой пружины, отсчет х ведется от положения равновесия, в котором  .

Связь между потенциальной энергией и потенциальной силой.

Силы, работа которых по замкнутому пути равна нулю, называются потенциальными (или консервативными). Как указывалось ранее, в механике силы тяготения и упругости – потенциальные силы.

Общая связь между потенциальной энергией и потенциальной силой:

проекции потенциальной силы на оси координат равны частным производным по этим координатам от потенциальной энергии, взятым с обратным знаком:

;  ;  .

В определении используется понятие частных производных, т.к. потенциальная энергия в общем, виде зависит от трех координат  .

Связь работа и энергии.

Работа – мера изменения энергии(физический смысл работы).

Теорема о кинетической энергии: работа всех сил приводит к изменению кинетической энергии теле (или системы тел)

.

Работа потенциальной силы, приводящая к изменению конфигурации системы, равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус:

.

Закон сохранения импульса.

Полный вектор импульса замкнутой системы есть величина постоянная при любых взаимодействиях внутри данной системы

.

Если система незамкнутая, есть внешние силы, действующие на точки системы, то  , где   – вектор внешних сил, равный геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Следовательно, только внешние силы изменяют импульс системы.

Закон сохранения энергии.

Полная механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения, остается постоянной, независимо от взаимодействий внутри системы:

.

Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки (полюса) не изменяется с течением времени при любых взаимодействиях внутри системы:  , т.е. 

Если результирующий момент сил относительно некоторой оси ОZ, проходящей через точку О, тождественно равен нулю, то и момент импульса относительно этой оси не изменяется с течением времени.

при        ,

где   – соответственно момент инерции и угловая скорость системы.

Ударом называется явление конечного изменения скоростей твердых тел за весьма малый промежуток времени при их столкновении.

Абсолютно неупругий удар

Абсолютно неупругий удар – удар, в результате которого тела после столкновения двигаются с одинаковыми скоростями.

Центральный неупругий удар двух шаров массой m1 и m2. Векторы скоростей шаров лежат на одной линии, соединяющей их центры,   и   – скорости шаров до удара,   – общая скорость шаров после удара.

ЗСИ в векторной форме:

.

ЗСЭ записывается не для механической энергии, а с учетом изменения кинетической энергии и деформации тел:

Абсолютно упругий удар

Абсолютно упругий удар – такое кратковременное взаимодействие тел, при котором в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций. Поэтому кинетическая энергия, которой тела обладали до взаимодействия, превращается в кинетическую энергию тех же тел после взаимодействия.

Абсолютно упругий удар двух шаров массой m1 и m2. Векторы скоростей шаров до удара   и  ,  после удара .

ЗСИ  в векторной форме:

      Закон сохранения механической

энергии  (ЗСЭмех)  .