1.1.3. Кинематические характеристики. Скорость. Ускорение

• Средняя скорость

Средней скоростьюдвижущегося тела называется вектор, равный отношению вектора перемещения к величине промежутка времени, за которое это перемещение произошло:

.

Величина (модуль) вектора средней скорости определяется формулой:

.

• Мгновенная скорость.

Мгновенная скорость тела равна первой производной радиус–вектора по времени:   ,

где  ,  ,   – проекции скорости на координатные оси.

Направление вектора   мгновенной скорости по касательной к траектории в сторону движения тела.

Модуль скорости тела равен:   .

• Среднее ускорение.

Быстрота изменения вектора скорости характеризуется величиной, называемой ускорением. Ускорение может возникнуть как за счет изменения величины скорости, так и за счет изменения направления скорости.

Средним ускорением тела в интервале времени от t до (t + Δt) называется вектор  , равный отношению приращения вектора скорости   к промежутку времени Δt, за который это приращение произошло:

.

Модуль вектора среднего ускорения равен  .

• Мгновенное ускорение.

Ускорением (или мгновенным ускорением) тела называется векторная величина  , равная первой производной по времени от скорости тела   или второй производной по времени от радиус–вектора  :   .

Модуль вектора ускорения равен:

.

• Нормальное, тангенциальное и полное ускорения.

Для описания движения материальной точки по криволинейной траектории введем единичные векторы:  , связанный с движущимся телом (точкой) и направленный по касательной к траектории, и  , направленный по радиусу к центру кривизны траектории.

Направление вектора   изменятся по мере движения тела (точки) по криволинейной траектории. Вектор скорости,  , движущейся точки также направлен по касательной к траектории и может быть определён как  , где его модуль равен  . Ускорение определяется производной от скорости по времени  , оно называется касательным или тангенциальным ускорением и направлено по касательной к траектории. Появление тангенциального ускорения обусловлено изменением скорости по величине.

Составляющая ускорения, направленная по нормали (по радиусу к центру кривизны траектории), имеет вид   , и называется нормальным ускорением. Его появление связано с изменением скорости по направлению.

 

Вектор полного ускорения   при движении точки по криволинейной траектории, есть сумма векторов тангенциального    и нормального   ускорений:  = + .

Модуль полного ускорения равен:  . 

 Поступательное и вращательное движение абсолютно твердого тела

• Поступательное движение абсолютно твердого тела.

Поступательным движением твердого тела называется движение, при котором любая прямая, проведенная между его двумя точками, остается при движении, параллельна самой себе.

Особенностью поступательного движения твердого тела является то, что все точки тела описывают одинаковую траекторию, проходят за определенные промежутки времени Δt одинаковые пути и в любой момент времени имеют одинаковые скорости. Поэтому кинематическое рассмотрение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения любой из его точек, т.е. моделью тела при поступательном движении является движение материальной точки. Обычно за такую точку принимают центр масс тела.  Кинематические характеристики и кинематические уравнения, вводимые для материальной точки, описывают и поступательное движение твердого тела. Любой из способов описания движения: координатный, векторный или естественный – может быть использован для описания поступательного движения твердого тела.

• Вращательное движение абсолютно твердого тела.

Вращательным движением твердого тела называется движение, в процессе которого все точки тела описывают окружности. Центры этих окружностей лежат на прямой, называемой осью вращения и перпендикулярной к плоскостям, в которых вращаются точки тела.

Рисунок 1.1.3. – Вектор углового перемещения при вращательном движении.

Величины, характеризующие вращательное движение называются угловыми, т.к. они одинаковы для всех точек, из которых состоит абсолютно твердое тело (а.т.т.). Линейные характеристики (перемещение, линейные скорость и ускорение) для всех точек при вращательном движении а.т.т. различны. За промежуток времени Δt все точки твердого тела повернутся на угол Δφ.Когда угол поворота невелик, его можно рассматривать как вектор  ,  называемыйугловым перемещением и направленный вдоль оси вращения по правилу правого буравчика. Правило правого буравчика. Если рукоятка правого буравчика вращается вместе с телом (точкой), то поступательное движение буравчика совпадает с направлением   (см. рисунок 1.1.3).

• Средняя угловая скорость.

Средней угловой скоростью   называется физическая величина, равная отношению углового перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло  .

• Мгновенная угловая скорость.

Мгновенная угловая скорость равна первой производной от вектора углового перемещения по времени  . Направление мгновенной угловой скорости определяется по правилу правого буравчика и совпадает с направлением углового перемещения 

• Угловое ускорение.

 Для характеристики быстроты изменения угловой скорости тела при неравномерном вращении вводится вектор углового ускорения  .

Среднее угловое ускорение  есть величина отношения изменения угловой скорости   к промежутку времени Δt, за которое это изменение произошло  .

Мгновенное угловое ускорение,  , равно первой производной  по времени от угловой скорости   или второй производной по времени от углового перемещения:  .

Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения и совпадает с направлением угловой скорости и углового перемещения (см. рисунок 1.1.4 а), если движение ускоренное, и противоположен направлению этих векторов, если вращение замедленное (см. рисунок 1.1.4 б). Рисунок 1.1.4. – Направление векторов  а) при ускоренном вращении, б) при замедленном  вращении.

Связь между линейными и угловыми характеристиками при вращательном движении. Связь между линейной и угловой скоростями  , между линейным и угловым ускорениями вращающейся точки твердого тела  . При разложении вращательного движения на нормальное и касательное направления ускорения имеют вид: .