31. Математика и развитие научного знания в современной техногенной цивилизации: роль компьютерного моделирования и эксперимента.

Проблема функционирования математического знания в аспекте влияния его теоретико-методологического инструментария на процесс познания ждёт своего решения. Сегодня, как никогда необходимо осознание того факта, что ни один исследователь различного рода сфер объективной реальности не сможет вести творческий научный поиск, если он не сможет использовать различные математические средства, новые компьютерные и информационные технологии, основанные на математических методах.

Определяя стиль мышления, и обладая огромным эвристическим потенциалом, математика способствует правильной (корректной) постановке и научному анализу проблем, стимулирует ту сторону творчества, которая предполагает целенаправленное решение задач, вытекающих из логики естественноисторического процесса. Способствуя стратегическим оценкам приоритетов во множестве этих задач, математика обеспечивает экономию интеллектуальных ресурсов, избирательное вовлечение в процесс наиболее значимых, перспективных составляющих экономического развития общества.

Подобно тому, как в практической деятельности человек между собой и природой ставит орудия труда, так и в познании он между собой и объектом исследования ставит математику как систему средств выражения и воспроизведения количественной определённости реальности (реальность понимается в нескольких смыслах: во-первых, внешняя, действительная, объективно сущая; во-вторых, — внутренняя или собственная, концептуальная, соответствующие отношения и формы архитектоники; в-третьих, — возможная, потенциальная, виртуальная).

Онтологический срез рассматриваемой проблемы проявляется в том, что именно математика выявила такие возможности человека по теоретическому познанию и практическому преобразованию бытия, которые до сих пор определяют судьбу рода человеческого. И сегодня без математики при ориентации на обретение соответствующего высокого качества результата не обходятся ни квалифицированный мониторинг окружающей среды, ни орудийное оснащение проективной деятельности, ни кардинальные прогрессивные изменения в структуре образовательного пространства и в содержании образовательных структур, ни тонкие и глубокие наукоёмкие информационные технологии, от оригинальности идей и глубины разработки которых целиком зависит будущее благополучие человечества. И потому математика как средство и путь развития науки и как необходимое конструктивное действие по преобразованию бытия непосредственно проявляет в методологическом аспекте многие свои исконные достоинства.

Движение познания от простого к сложному, от единичного к общему в результате перехода от качественного анализа к количественному является объективной закономерностью развития науки. Процесс познания явлений объективной реальности с необходимостью предполагает переход от качественных, описательных приёмов и методов к более точным и формальным, что связано с привлечением математического аппарата.

Математизация научного знания есть исторически развивающийся процесс проникновения средств и методов математики в другие науки. Взаимодействие, взаимосвязь конкретных наук с математикой в процессе математизации осуществляется в различных формах, различными путями и способами и основываются, прежде всего, на том, что каждая из наук, в том числе и математика, В отдельности обладают такой особенностью, которая отсутствует в другой. Математика исследует формы без анализа содержания, другие же науки — содержание, которое в данные формы воплощается.

Естественно, что применение математики неодинаково не только в разных областях знаний, но и на разных уровнях развития одной и той же науки. В тоже время существует известная закономерность в развитии процесса математизации любой науки, другими словами возможно выделение основных этапов, к которым сводится всё многообразие путей и форм проникновения в неё математики. Назовём эти этапы:

• количественная обработка эмпирических данных;

• модельный этап;

• построение математической теории исследуемого объекта.

Рассмотрение указанных этапов, позволит более правильно осмыслить процесс математизации, его сущность, а главное — уяснить методологическую значимость математики в современном познании.

Первый этап берёт начало с древних времён (измерение земельных участков, различных объектов, времени и т. д.). Роль математики в данной форме применения сводится в основном к описанию периодичности взаимодействия явлений, которые наблюдает исследователь.

Как известно, появление любой науки, изучающей объекты действительности, предшествует период накопления фактов об этих объектах. Их количественная обработка способствует логическому упорядочению, классификации и систематизации, что представляет собой начало данной науки и ведёт к созданию специального языка: системы понятий и отношений, связей между ними, которые служат для познания сущности изучаемых объектов (описательная теория).

Наиболее простым и распространённым способом фиксации и упорядочения эмпирических данных является определение характеристик изучаемых объектов и на их основе составления таблиц и графиков. В свою очередь, анализ таблиц и графиков может привести к мысли выразить существующую зависимость между полученными данными с помощью какой-нибудь формулы. Графики и формулы обеспечивают наглядность, чёткость и убедительность при изложении сведений в форме описательной теории. Тем самым математика «расчищает место» для применения своих методов и теорий в будущем, ибо оформление знаний, выражение его в символической форме способствует выведению более глубоких связей между ними, усиленно абстрактного (и в то же время более конкретного) характера данной отрасли знания.

Дальнейшее развитие и усовершенствование описательных теорий идёт по двум взаимосвязанным и взаимодополняющим направлениям; одновременно с последующим накоплением фактов происходит непрерывное логическое усовершенствование как уже имеющегося материала, так и появляющегося, нового, что связано уже с необходимостью привлекать математический аппарат более высокого уровня. Так, Д. Максвелл на основе предшествующей систематизации и классификации обширного материала, полученного в результате экспериментов по изучению электричества, обобщённых опытов X. Эрстеда и М. Фарадея и имеющегося математического аппарата классической физики (механики), создаёт электродинамику — логически упорядоченную физическую теорию (математизированная теория).

Переход от описательной теории к математизированной, в которой связь и соотношения между изучаемыми явлениями уже можно представить в виде точных математических моделей, обусловлен необходимостью разрешения одного из основных противоречий описательной теории — противоречия между свойствами постоянства, устойчивости и свойствами изменчивости, превращаемое явлений изучаемой области. Причём если математизация описательной теории протекает в рамках некоторой установившейся системы понятий, естественного языка, то переход к математизироанной теории необходимо связан с выходом за эти рамки и с привлечением новых понятий (математических), обобщающих старые, что возможно лишь с возникновением нового языка — математического.

Необходимость такого перехода вытекает из понимания меры явлений материальной действительности. Если в описательной теории применение математики объясняется диалектическим пониманием меры как единства качественной и количественной стороны изучаемых явлений, то необходимость использования математических моделей в математизированной теории диктуется диалектическим пониманием законов как меры мер, как единство устойчивого и изменчивого в изучаемых явлениях.

В математизированных теориях математические модели позволяют не только описывать исследуемые явления, процессы, но и прогнозировать, открывать неизвестные ранее закономерности их развития. Такой метод открытия и познания называют математической гипотезой. Его суть состоит в предположительном изменении известной функции, отображающей выявленную в какой-то области знаний закономерность с целью её распространения на исследуемую область в качестве присущей ей закономерности. В данном случае гипотеза выступает как конкретная модель и служит изначальным пунктом и формой перехода от математического аппарата старой теории к математическому аппарату новой и представляет собой каркас этой теории. После того как он создан, математическим путём выводят ряд следствий, которые и сопоставляют с имеющимися экспериментальными данными, что относятся к исследуемой сфере явлений.

Такой аспект эвристической функции математической гипотезы способствует сокращению мыслительного эксперимента во времени, ибо установление типа математической гипотезы, адекватной эмпирическим результатам исследования, даёт возможность перейти от а) уровня гипотезы, выраженной в понятиях естественного языка через б) математическую гипотезу к в) построению логико-математической структуры идеализированных объектов новой теории (дедуктивной).

Дедуктивная теория выступает как средство теоретического получения новых научных результатов. В то же время она является только математической формой развития научного знания и по этой причине не определяет содержание, которое вкладывается в данную форму. Содержание определяется соответствием, установленным между понятиями математической теории и глубокой теорией изучаемых явлений. Это необходимо иметь в виду, чтобы не сбиться на простую игру в формулы, за которой нет реального содержания.

Дедуктивные теории удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым к теоретическому знанию. В этих теориях математика и её методы применяются уже не для описания и математического оформления полученных результатов, а для выполнения определённой эвристической функции, служат методом получения нового знания. Теория, достигшая третьего этапа математизации, развивается в знаковой плоскости, без обращения к опыту. В такой теории можно с помощью чисто механических операций сопоставления проверять, является ли рассматриваемая система формул, доказательством конечного результата. Благодаря этому реализуется возможность материализации логического вывода в данной науке, что служит непосредственной основой для компьютерного моделирования научного познания.

В дедуктивных теориях на базе математического языка осуществляется переход от оперирования понятиями к оперированию символами, когда рассуждения на содержательном уровне сводятся к материальным действиям со знаками, а логический анализ сводится к выведению одних формул из других. В таких теориях относительная самостоятельность теоретического познания получает своё крайнее выражение: новые знания приобретаются не с помощью наблюдений и экспериментов (как на эмпирическом уровне), а посредством логических рассуждений в рамках данных или специально выработанных теорий, то есть особых совокупностей понятий и утверждений, объединённых в целое по правилам логики. В дедуктивной теории появляется возможность оперировать такими «элементами», особенность которых объясняется их концептуальной природой, что, в свою очередь, позволяет наиболее полно реализовать переход одних понятий в другие, устанавливать взаимосвязь между ними.

Математизация знаний являясь основным путём перехода науки на новый теоретический уровень является наиболее перспективным путём совершенствования понятийного аппарата современной науки, обеспечивающего методологическое и категориальное регулирование выработки и оперирования знаниями в данной системе понятий. Тем самым в научном мышлении утверждается наиболее общий категориальный подход к математическому познанию объективной реальности. В свою очередь, развитие категориального аппарата науки в процессе математизации обуславливает интеграцию знания не только каждой отдельной математизируемой области знаний, но и всех составляющих, образующих её целостность. Это способствует становлению методологической культуры исследования, формированию единой культуры научного поиска, выработке научного стиля мышления.

Процесс математизации знания диалектически связан с имманентным развитием теоретико-познавательной деятельности как таковой. Благодаря чему становится прогрессирующим, самообновляющимся, прирастающим в качестве союз философии и математики в научном познании мира, происходит эволюция научной картины мира, являющая собой динамически неравновесный процесс. Интеграция концептуального «поля» философии и математики выступает доминирующей тенденцией их современного развития, обуславливая фундаментализацию научных знании, диалектизацию научного поиска, декомпозицию старых исследовательских схем и замену их новыми.

Таким образом, современная математика выступает универсальной методологией в поиске приёмов и средств познания, а творческая деятельность математика представляется как особая форма активности познающего субъекта, который посредством абстракций высокого уровня не только конструирует существующие на данный момент состояния объективной реальности, но и прогнозирует их изменение и развитие в будущем.

Основная цель имитационного моделирования заключается в воспроизведении поведения изучаемой системы на основе анализа наиболее существенных взаимосвязей ее элементов.

При использовании имитационного моделирования, прежде всего, строится модель изучаемой системы. Затем проводится сравнительный анализ конкретных вариантов ее функционирования путем „проигрывания" возможных различных ситуаций на модели. Таким образом, задача имитационного моделирования состоит в имитации функционирования этой системы в возможных различных ситуациях.

При решении многих практически важных задач, в том числе и задач организационного управления, имитация реальных действий, как это делается, например, в армейских условиях во время учений и маневров, является слишком длительным и дорогостоящим предприятием. Поэтому в настоящее время все шире используется компьютерное имитационное моделирование.

Практическое использование компьютерного имитационного моделирования предполагает построение соответствующей математической модели, учитывающей факторы неопределенности, динамические характеристики и весь комплекс взаимосвязей между элементами изучаемой системы. Имитирование системы начинается с некоторого вполне конкретного начального состояния. В соответствии с принимаемыми решениями, а также вследствие реализаций различных контролируемых и неконтролируемых событий, среди которых могут быть и события случайного характера, модель системы переходит в последующие моменты времени в другие свои возможные состояния. Этот эволюционный процесс будет продолжаться до конечного момента планового периода, т.е. до конечного момента имитирования.

Компьютерное имитационное моделирование следует рассматривать как статистический эксперимент. В отличие от математических моделей, результаты, использования которых отражали устойчивое во времени поведение соответствующей системы, результаты компьютерного имитационного моделирования представляют собой наблюдения. А это означает, что любое утверждение относительно характеристик имитируемой системы является статистической гипотезой.

Имитационное моделирование как эксперимент может быть полностью реализовано с помощью компьютера. Описывая взаимодействие элементов изучаемой системы с помощью математических соотношений, можно получить информацию об изучаемой системе, не обращаясь к натурным экспериментам, в рамках тех упрощающих предположений, которые приняты для исходной модели. Следует отметить, что с точки зрения детализации поведения сложных систем имитационное моделирование по сравнению с „классическим" математическим моделированием обладает большой гибкостью. Но при этом создание имитационных моделей связано со значительными за-тратами средств и времени. Эти затраты резко возрастают, если имитационная модель предназначена для оптимизации поведения изучаемой системы.

Результаты имитационного моделирования, как правило, представляют собой оценки значений функциональных характеристик имитируемой системы. Так, например, при имитационном моделировании системы массового обслуживания практический интерес могут представлять такие ее характеристики, как средняя продолжительность обслуживания заявки, средняя длина очереди и т.д. Поэтому основой метода имитационного моделирования является моделирование случайных величин с заданными законами распределения и случайных событий с заданными вероятностями реализаций.

Компьютерное имитационное моделирование используют при решении задач двух основных типов.

1. Теоретические задачи в таких областях науки, как математика, физика и химия. Среди этих задач отметим лишь следующие: а) вычисление кратных интегралов; б) вычисление различных констант, таких, как , е и т.д.; г) решение различных задач для уравнений в частных производных и их систем; д) анализ диффузии частиц и нахождение пространственных траекторий их движения.

2. Практические задачи организационного управления, возникающие в различных сферах человеческой деятельности. Примерами подобных задач являются: а) задачи разработки и анализа производственно-технологических процессов;

б) задачи, связанные с изучением возможных режимов функционирования систем экономического характера, включая процессы планирования и экономического прогнозирования; в) задачи анализа последствий реализации той или иной военной стратегии и тактики; г) задачи социального и социально-психологического характера.

Используя компьютерное имитационное моделирование применительно к задачам организационного управления, преследуют, по крайней мере, одну из следующих целей: 1) углубленное изучение действующей функциональной системы; 2) анализ функциональной гипотетической системы; 3) проектирование более совершенной функциональной системы.

Первый этап создания любой имитационной модели - этап описания реально существующей системы в терминах характеристик основных событий. Эти события, как правило, связаны с переходами изучаемой системы из одного возможного состояния в другое и обозначаются как точки на временной оси. Для достижения основной цели моделирования достаточно наблюдать систему в моменты реализации основных событий.

Для эксплуатации любой имитационной модели необходимо выбрать единицу времени. В зависимости от природы моделируемой системы такой единицей может быть микросекунда, час, год и т.д. Так, например, при моделировании процесса функционирования крупного аэропорта в качестве единицы времени, как правило, используют минуту, а при моделировании процесса эволюции в изолированной популяции - среднюю продолжительность жизни одного поколения.

Так как по своей сути компьютерное имитационное моделирование представляет собой вычислительный эксперимент, то его наблюдаемые результаты в совокупности должны обладать свойствами реализации случайной выборки. Лишь в этом случае будет обеспечена корректная статистическая интерпретация моделируемой системы.

В любом физическом эксперименте оценка его результата, как правило, базируется на среднем значении N независимых наблюдений. При этом объем испытаний N планируют заранее в соответствии с заданным размахом доверительного интервала для оцениваемого параметра, величина которого и характеризует качество получаемой оценки при фиксированной доверительной вероятности. При компьютерном имитационном моделировании оценки характеристик изучаемой системы также должны базироваться на результатах N независимых наблюдений, но их получение значительно сложнее, чем в физическом эксперименте. Следует отметить, что при компьютерном имитационном моделировании основной интерес представляют наблюдения, полученные после достижения изучаемой системой стационарного режима функционирования, так как в этом случае резко уменьшается выборочная дисперсия. Время, необходимое для достижения системой стационарного режима функционирования, определяется значениями ее параметров и начальным состоянием.