27. Використання формального апарату для оптимізації схем відношень

Нехай R(A₁, A₂ ..., A_n) – схема відношення, а X і Y – підмножини {A₁, A₂ ..., A_n}.

Функціональна залежність на відношенні R – це твердження вигляду "Якщо два кортежі R збігаються по атрибутах множини X {A₁, A₂ ..., A_n} (тобто ці кортежі мають у відповідних один одному компонентах одні і ті ж значення для кожного атрибуту множини X), то вони повинні збігатися і по атрибутах множини YÌ {A₁, A₂ ..., A_n}. Формально ця залежність записується виразом X ® Y, причому говориться, що X функціонально визначає Y.

Часто використовується інше твердження: X функціонально визначає Y або Y функціонально залежить від X (позначається X ®  Y) тоді і лише тоді, коли кожне значення множини X відношення R пов'язане з одним значенням множини Y відношення R. Інакше кажучи, якщо два кортежі R збігаються за значенням X, вони збігаються і за значенням Y.

Зауваження. Взагалі кажучи, під терміном "відношення" можуть матися на увазі два поняття:

• відношення як змінна, яка може набувати різних значень (таблиця, в рядки і стовпці якої можуть бути вписані різні значення);

• відношення, як набір конкретних значень (таблиця із заповненими елементами).

Функціональні залежності характеризують всі відношення, які можуть бути значеннями схеми відношення R в принципі. Тому єдиний спосіб визначити функціональні залежності – уважно проаналізувати семантику (сенс, зміст) атрибутів.

Функціональні залежності є, зокрема, обмеженнями цілісності, тому доцільно перевіряти їх при кожному оновленні бази даних.

Приклад функціональних залежностей для відношення ІСПИТОВА ВІДОМІСТЬ

Код студента ® Прізвище

Код студента, Код іспиту ® Оцінка

Приклад функціональних залежностей для відношення СТУДЕНТ, наведених на початку цієї лекції

Код студента ® Прізвище

Код студента ® Факультет

Відмітимо, що остання залежність існує за умови, що один студент не може навчатися на декількох факультетах.

Повна множина функціональних залежностей

Для кожного відношення існує досить певна множина функціональних залежностей між атрибутами даного відношення. Причому із однієї або більше функціональних залежностей, властивих даному відношенню, можна вивести інші функціональні залежності, також властиві цьому відношенню.

Задану множину функціональних залежностей для відношення R позначимо F, повну множину функціональних залежностей, які логічно можуть бути отримані з F, називатимемо замиканням F і позначатимемо F+.

Якщо множина функціональних залежностей збігається із замиканням даної множини, то така множина функціональних залежностей називається повною.

Введені поняття дозволяють формально визначити поняття ключа.

Нехай існує деяка схема R з атрибутами A₁A₂...A_n, F – деяка множина функціональних залежностей і X – деяка підмножина R. Тоді X називається ключем, якщо, по-перше, у F+ існує залежність X ® A₁A₂...A_n і, по-друге, ні для якої підмножини Y, що входить в X, залежність Y ® A₁A₂...A_n не належить F+.

Повною функціональною залежністю називається залежність неключового атрибуту від усього складеного ключа.

Частковою функціональною залежністю називатимемо залежність неключового атрибуту від частини складеного ключа.

Для обчислення замикання множини функціональних залежностей використовуються наступні правила виведення (аксіоми Армстронга):

Нехай відома деяка схема відношення R{A₁, A₂ ..., A_n} з множиною атрибутів U={A₁, A₂ ..., A_n} і множиною функціональних залежностей F, заданих на множині U.

Аксіома рефлективності. Якщо Y входить в X, а X входить в U (YÍ X Í U), то X ® Y логічно випливає із F. Це правило дає тривіальні залежності, оскільки в них права частина міститься в лівій частині.

Аксіома поповнення. Якщо X ® Y і Z є підмножина U, то XZ ® YZ. У цьому випадку функціональна залежність X ® Y або містилася у вихідній множині F, або може бути виведена з F з використанням описуваних аксіом.

Аксіома транзитивності. Якщо X ® Y і Y ® Z, то X ® Z.

Справедлива наступна теорема.

Теорема. Аксіоми Армстронга є повними і надійними.

Це означає, що використовуючи їх ми виведемо всі можливі функціональні залежності, що логічно випливають із F, і не виведемо жодних зайвих залежностей.

Існує декілька інших правил виведення, які випливають із аксіом Армстронга.

Правило самовизначення. X ® Х.

Правило об'єднання. Якщо X ® Y і X ® Z, то X ® YÈZ.

Правило псевдотранзитивності. Якщо X ® Y і WÈY ® Z, то XÈW ® Z.

Правило композиції. Якщо X ® Y і Z ® W, то X ÈW ® YÈW.

Правило декомпозиції. Якщо X ® Y і Z входить в Y, то X ® Z.

Треба відзначити, що обчислення замикання множини функціональних залежностей є трудомістким завданням при чималій кількості атрибутів. Це пояснюється