10. Теоретикомножинний зміст частки цілого невід’ємного числа і натурального. Навести приклади задач на розкриття теоретикомножинного змісту частки цілого невід’ємного числа і натурального.

Існує два приклади задач, які приводять до розкриття теоретикомножинного змісту частки, це задачі:

1. 8 цукерок мама роздала порівну 2-ом дітям. По скільки цукерок отримав кожен? – поділ на рівні частини.

2. 8 цукерок мама роздала дітям по 2 кожному. Скільки дітей отримало цукерки? – вміщення.

Означення: нехай а=n(A) і множину А розбито на попарно непересічні рівно потужні підмножини, якщо в – число елементів підмножини в розбитті множини А то часткою чисел а і в називається число елементів у кожній підмножині.

Якщо в число елементів кожної підмножини в розбитті множини А, то часткою чисел а і в називається число підмножини у цьому розбитті.

Дія за допомогою якої знаходимо частку а і в називається – діленням, а число а – ділене, в – дільник, с – частка.

Щоб перевірити правильність виконання дії ділення звертаємось до дії множення, тому що ці дії взаємопов’язані.

Нехай a = n(A) і множину А розбито на в попарно непересічні рівно потужні підмножини.

А1, А2, … , а тоді а : в є число елементів в кожній такій підмножині, тобто с=а:в=n(A1)= n(A2)=…=n(Aв).

11. Визначення частки через добуток. Необхідна умова існування частки на множині цілих невід’ємних чисел, її єдність. Неможливість ділення на нуль.

За означенням добутку сума в доданків кожен з яких дорівнює с є добутком с*в. Таким чином встановлено що а = с * в, тобто часткою чисел а і в є таке число с добуток якого до числа в = а. до такого ж висновку прийдемо, якщо частка с = а / в буде число підмножини в розбитті множини А таким чином отримали означення частки.

Означення: часткою цілого невід’ємного числа а і натурального числа в називається таке ціле невід’ємне число с=а/в добуток якого і числа в = а. можна показати і наявність оберненого зв’язку. Тобто що із другого означення частки випливає перше а / в = с – а = с * в, отже у другому випадку частку означення через добуток тому говорять що дія ділення обернена до множення.

Існування частки. Теорема: для того щоб існувала частка двох натуральних чисел А і В необхідно, що В було ≥ А. Доведення : нехай частка натуральних чисел А і В існує, тобто існує таке натур. число с, що а = с * в. Для будь-якого натурального числа с справедливе твердження 1 ≤ с. помножимо обидні частини цієї нерівності на натуральне число В, отримуємо В ≤ В*С, оскільки С * В = А, то В ≤ А, теорема доведена.

Нехай дано числа А ≠ 0, В = 0, припустимо що частка чисел А і В існує, тоді за означенням частки, існує таке ціле невід’ємне число С, що А = С * 0, звідки А = 0. Прийшли до протиріччя з умовою таким чином частки чисел А ≠ 0, і В = 0 – не існує.

Якщо А = 0 і В = 0, то і припущенням що частка таких чисел А і В існує, слідує рівність 0 = С * 0, яка істинна при будь-яких значеннях С. тобто частки чисел А = 0 і В = 0 може бути і будь-яке число, тому в математиці вважають, що ділення 0/0 також неможливе.