9.Закони множення. Визначення добутку цілих невід’ємних чисел через суму.

Виділяють такі основні закони множення :

• Переставний закон : для цілих невід’ємних чисел а · в справедлива рівність

а · в = в · а

Доведення: нехай а =n (А), в = n(В) ,за означенням добутку а · в =n(A х В),але множини А х В і В х А – рівно потужні : кожній парі (а; в) із множини (Ах В) можна поставити у відповідність єдину пару (в;а) із множини (В х А),тому n(А х В)=n(В х А) і тому а · в = n( А х В)=n(В х А) = в · а

• Сполучний закон - для цілих невід’ємних чисел а ,в ,с справедлива рівність

( а · в ) · с =а· ( в · с)

Нехай а= n(А), в =n(B),c=n(C),тоді за означенням добутку

( а · в ) · с = n((A х В) х С)= а· ( в · с) =n(Ах(В х С)) множини ((A х В) х С) і (Ах(В х С)) – різні : перша складається з пар виду ( а , в ) , с), а друга ( а , (в , с), де а належить множині А, в належить множині В, с належить множині С,але множини ((A х В) х С) і (Ах(В х С)) рівно потужні. Оскільки існує взвємодвозначне відображення однієї множини на іншу. Тому n((A х В) х С)= n(Ах( В х С)), а значить

( а · в ) · с =а· ( в · с)

• Розподільний закон множення відносно додавання :для будь яких цілих невід’ємних чисел

а ,в ,с справедлива рівність

( а + в ) · с= ас + в с

Цей закон випливає з рівності ( А в об’єднанні з В )х С = А х С в об’єднанні з В х С

Доведення : Нехай а= n(А), в =n(B),c=n(C),А в перетині з В – пуста множина,тоді за означенням добутку маємо ( а + в ) · с= n(А в об’єднанні з В)

На основі рівності : ( А в об’єднанні з В )х С =(А х С) в об’єднанні (В х С)

Отримуємо за означенням суму і добутку

n( А х С )в об’єднанні (В х С) = n( А х С )+ n( В х С )= ас + в с

• Розподільний закон множення відносно віднімання: для будь яких цілих невід’ємних чисел

а ,в ,с і а >рівне в справедлива рівність

( а - в ) · с= ас - в с

Цей закон виводиться з рівності (A/B) х С=(А х С)/(В х С) і доводиться аналогічно попереднього

Переставний і сполучний закони можна використовувати для будь якого числа множників. Як при додаванні ,ці закони часто використовують разом,тобто добуток декількох множників не змінюється якщо їх переставити будь яким способом ,якщо будь яку групу можна взяти в дужки.

Розподільний закон встановлює зв’язок множення з додаванням і відніманням.На основі цих законів відбувається розкриття дужок у виразах виду ( а + в ) · с і ( а - в ) · с, а також винесення множників за дужки.