Розділ 9 Висота, проведена до гіпотенузи

К оли в умові задачі до гіпотенузи прямокутного трикутника проведено висоту, то інтуїція одразу підказує нам, що зараз “зіграють” формули: ; ; (рис.1). Дійсно, ці формули дуже важливі й визначальні, допомагають у розв’язанні багатьох задач! Але, можливо, їх популярність заважає побачити ряд корисних співвідношень, які безсумнівно, прикрашають дану геометричну конструкцію, роблять її більш яскравою та привабливою. Тому і виникла ідея запропонувати до уваги читачів добірку задач на тему “Висота, проведена до гіпотенузи”.

Задача 1. Довести формулу: (рис.1).

Доведення. і , отже .

Задача 2. Довести формулу: (рис.1).

Доведення. (оскільки за задачею 1 ).

Задача 3. Довести формулу: (рис.1).

Доведення. Оскільки трикутники і подібні, то (площі подібних трикутників відносяться як квадрати відповідних лінійних розмірів). З іншого боку, трикутники і мають спільний катет , тобто .

Задача 4. Доведіть, що .

Доведення. За формулою для радіуса кола, вписаного в прямокутний трикутник, , або . Відомо, що будь-яка висота трикутника більша за діаметр вписаного кола (доведіть!) , тобто . Тоді маємо: , або .

Задача 5. Доведіть, що трикутник зі сторонами ; ; є прямокутним.

Доведення. . Але і , тобто , що рівносильне вимогам задачі.

Задача 6. Довести формулу: .

Доведення. . Але , або . Отже, маємо: , після чого отримаємо необхідну формулу.

Задача 7. Доведіть формулу , де ; ; – радіуси кіл, вписаних у трикутники , , відповідно (рис.2).

Д оведення. Нехай – площа трикутника ; – площа трикутника ; – площа трикутника . Тоді (з подібності трикутників і ), (з подібності трикутників і ).

Додавши ліві та праві частини рівностей, отримаємо: , звідки .

Зауваження. Отриману формулу можна узагальнити: , де ; ; – будь-які відповідні елементи трикутників, що розглядаються.

Задача 8. Довести формулу : (рис.2).

Доведення. Очевидно, що . Тоді за формулою похідної пропорції маємо: , або . Отже, .

Задача 9. Знайдіть кути трикутника (рис.2) , якщо ( і – центри кіл, вписаних відповідно у трикутники та ).

Розв’язання. Оскільки є кутом між бісектрисами суміжних кутів, то . Крім того, . Отже, трикутник подібний до кожного з трикутників , , і його кути дорівнюють: , , .

Задача 10. Доведіть формулу: .

Доведення. Очевидно, що і (рис.2).

Оскільки , то .

Розділ 10 Щоб трикутник abc був прямокутним!.. (Вимагає тригонометрія)

Досить часто ми зустрічаємося із задачами, в яких потрібно довести, що у випадку виконання деякої умови довільний трикутник стає прямокутним. Ось, наприклад, така задача.

В різносторонньому трикутнику виконується рівність: , де – його площа, а – півпериметр. Доведіть, що в такому разі є прямокутним.

Дійсно, – за умовою, або , , або , або . Тобто ; , або , і є прямокутним за оберненою теоремою Піфагора.

Таких прикладів можна навести чимало. Ми ж сфокусуємо свій погляд лише на задачах, в яких певні задані тригонометричні співвідношення роблять довільний прямокутним. Добірка таких задач здається корисною у процесі вивчення та при повторенні елементів тригонометрії трикутника. Вона буде доречною в період підготовки учнів до вступних іспитів. Взагалі задачі такого типу є гарним тренувальним полігоном для учнів 9–11 класів у будь-який час їхнього навчання математиці.

Тож, доведіть: нерівнобедрений трикутник ABC буде прямокутним з прямим кутом C при виконанні наступних умов.

Задача 1. .

Р озв’язання. Оскільки , то, згідно з умовою задачі, отримаємо: , або . Останнє співвідношення якраз означає, що є прямокутним з прямим кутом (рис.1).

Задача 2. .

Розв’язання. За теоремою косинусів . Отже, , звідси , або і .

Задача 3. .

Розв’язання. Оскільки та існують, тобто і , а ; , то маємо: , або, після скорочення на і на , ; ; . Але , оскільки не є рівнобедреним. Тоді , тобто і, таким чином, .

Задача 4. .

Розв’язання. За умовою , або . Враховуючи те, що , отримаємо: , тобто , і .

Задача 5. .

Розв’язання. . За теоремою синусів: ; . А з теореми косинусів знайдемо і : і . Отже, , або ; . Оскільки , то , тобто сторона є діаметром описаного кола і .

Задача 6. .

Розв’язання. . За теоремою синусів: ; ; . Отже, . Але – відома формула тригонометрії трикутника (доведіть її!). Тож, , або . Оскільки , то маємо , звідси і , а .

Задача 7.

Розв’язання. Маємо: , або . Але .

Тоді ; , або . ( – не може бути). Отже, і .

Задача 8. .

Розв’язання. З теореми косинусів знайдемо: . Аналогічно і . Тоді, відповідно до умови,

, або ; або , тобто: і – катети, – гіпотенуза і .

Задача 9. .

Розв’язання. Скориставшись теоремою синусів, отримаємо: ; ; . Оскільки , то, після скорочення, ; , або . Тоді .

Задача 10. .

Р озв’язання. ; або ; (1).

За властивістю точки перетину бісектрис трикутника ABC: (рис.2) – доведіть! До того ж, за властивістю бісектриси для трикутника : .

Отже, (2).

Порівнявши (1) і (2), отримаємо: . Таке співвідношення означає, що в трикутнику кут є прямим.

І на завершення розмови – дуже популярна задача на вступних іспитах до престижних факультетів вищих навчальних закладів.

Задача 11. Для кутів трикутника виконується рівність . Визначити тип цього трикутника.

Розв’язання. Якщо скористатися важливою формулою для кутів довільного трикутника: (доведіть її!), то відповідь стає майже очевидною, оскільки, відповідно до умови, , тобто один з кутів трикутника дорівнює . Отже, – прямокутний.