Розділ 6 Досьє на трикутник з перпендикулярними медіанами

З адача 1. На продовженні сторони трикутника вибрано точку так, що (рис.1). Нехай – середина сторони , а – точка перетину і . Довести, що трикутник рівновеликий чотирикутнику . (Всеукраїнська олімпіада, 1985 р.).

Ф акт: медіани трикутника, які перетинаються в точці – центроїді трикутника – ділять його на 6 рівновеликих частин (доведіть самостійно).

Скористаємося цим фактом, оскільки точка є центроїдом у трикутнику ( та – медіани). Отже, залишається провести третю медіану і, подібно до стародавніх математиків, записати: дивись рисунок 2!

Т рикутник, дві медіани якого перпендикулярні, завдяки ряду властивостей приваблює з педагогічної точки зору. На цьому трикутнику можна перевірити вміння учнів використовувати важливі геометричні факти. Ефектно виглядає урок у математичному класі із залученням відомостей про цей трикутник і присвячений повторенню різноманітного геометричного матеріалу. Деякі із запропонованих задач є учбовими, деякі – конкурсними, решта – олімпіадними. Але всі разом, сподіваємось, вони будуть доречними, корисними і зацікавлять вчителів та учнів.

У трикутнику (рис.1) медіани і перпендикулярні, тобто . Довести, що в трикутнику :

Задача 1. .

Доведення. Дійсно, (медіана, яка проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи). Але . Отже, .

Задача 2. , де – площа трикутника .

Доведення. Відомо, що медіани ділять трикутник на 6 рівновеликих частин (доведіть!). Тоді , або , звідки .

Задача 3. , тобто трикутник, який складено з медіан трикутника , є прямокутним.

Доведення. З прямокутного трикутника маємо: . Оскільки згідно із задачею 1 , то формулу доведено. Відомо також, що з медіан будь-якого трикутника можна скласти трикутник (доведіть!). За доведеною формулою він є прямокутним.

Задача 4. .

Доведення. Оскільки і , то формулу доведено. Задача 5(головна!). .

Доведення. За формулою медіани . Враховуючи, що , отримаємо необхідну формулу.

Задача 6. .

Доведення. За теоремою косинусів . Оскільки , знаходимо: . Підставивши значення у формулу площі , отримаємо: .

Задача 7. .

Доведення. За так званою нерівністю “трьох квадратів”

(доведіть!). Але і за формулою площі . Аналогічно і .

Оскільки знак рівності можливий лише у випадку прямих кутів , і одночасно, отримаємо строгу нерівність: , з якої випливає необхідна: .

Задача 8. А < 45.

Доведення. Оскільки і , то , що рівносильне необхідній нерівності.

Задача 9. .

Доведення. Відомі такі нерівності між середнім геометричним, середнім арифметичним та середнім квадратичним: (доведіть!). Або, підводячи до квадрату першу та третю нерівності, . За задачею 6: .

Отже, , звідки .

Задача 10. .

Доведення. і (рис.1).

Тоді (оскільки ). Враховуючи, що , отримаємо необхідну нерівність.

Задача 11. Відстань між центром описаного кола і точкою перетину медіан обчислюється за формулою: .

Доведення. Відома формула: (де – ортоцентр, точка перетину висот трикутника) – доведіть її!

Або (оскільки – пряма Ейлера).

Отже, в нашому випадку: , звідки й випливає необхідна формула: .

Задача 12. .

Доведення. Оскільки і ( тільки в рівносторонньому трикутнику), то маємо: , що рівносильне нерівності, яку треба довести.

Задача 13. .

Доведення. Відомо, що (доведіть!). Аналогічно і .

Враховуючи нерівність “трьох квадратів” , маємо: . Користуючись нерівністю (доведіть її!), підсилимо нашу нерівність: . Оскільки (відома нерівність!) і , отримаємо: . Знак рівності можливий лише в рівносторонньому трикутнику. Отже, .

Задача 14. .

Доведення. Для доведення скористаємося лише нерівністю (доведіть її!). Причому, знак рівності має місце в рівносторонньому трикутнику.

Зауважимо, що нерівність сильніша за нерівність задачі 7 .

Задача 15. Найменша сума квадратів відстаней від будь-якої точки площини до вершин дорівнює .

Доведення. Відомо, що найменшу суму квадратів відстаней має точка перетину медіан трикутника і що ця сума квадратів відстаней дорівнює – доведіть!

Підставивши , отримаємо необхідне.

На завершення пропонуємо декілька задач для самостійного розв’язання.

Задача 16. Побудуйте трикутник за двома сторонами, якщо відомо, що медіани до цих сторін взаємно перпендикулярні.

Задача 17. Якщо трикутник, який складено з медіан , є прямокутним ( ), то в виконується рівність .

Задача 18. Знайдіть тангенси кутів рівнобедреного трикутника ( ), у якого .

(Відповідь: ; ).

Задача 19. Знайдіть площу трикутника , якщо , і відомо, що його медіани і взаємно перпендикулярні. (Відповідь: ).