Розділ 3 Мініатюра про відрізки a, b, c та співвідношення між ними

Розглянемо деякі цікаві співвідношення, пов’язані з відрізками , , . Можливо, це викличе посмішку: хіба не все відомо про ці відомі відрізки? Дійсно, майже все. Але погляд на співвідношення між цими відрізками, що пропонуємо до Вашої уваги, видається нетривіальним. Він викликає в учнів емоції та інтерес, спонукає до творчості та досліджень. Саме тому розмова про відрізки , , під незвичайним ракурсом, можливо, має право на існування.

1. .

При такому співвідношенні з відрізків , , не можна скласти трикутник, оскільки воно суперечить нерівності трикутника.

2. .

Очевидно, що в цьому випадку відрізки , , складають прямокутний трикутник з катетами і та гіпотенузою .

2а. .

Якщо з відрізків , , можна скласти трикутник ( ), то він є тупокутним (це випливає з теореми косинусів: ).

2б. .

Згідно з теоремою косинусів трикутник із даними сторонами є гострокутним.

3. .

У цьому випадку кути , , трикутника задовольняють рівності:

.

Доведення. За теоремою синусів ( ; ; ) запишемо умову в такий спосіб: , або, помноживши на 4, (1).

За формулами потрійного кута ( ) знаходимо:

,

,

.

Підставимо ці значення у (1) і отримаємо:

.

Неважко показати, що , а (доведіть самостійно).

3а. (у прямокутному трикутнику).

Доведення. Маємо очевидні нерівності: і . Першу нерівність помножимо на , а другу – на , після чого додамо їх.

Отримаємо: , або .

4. . Довести, що трикутник – гострокутний.

Доведення. По-перше, трикутники, які задовольняють умові задачі, існують. Наприклад, це рівнобедрений трикутник із сторонами , , . Оскільки очевидно, що – найбільша сторона, маємо: ; .

Отже, , тобто трикутник – гострокутний.

(Ця задача була запропонована на 10-ій Всеросійській олімпіаді 1983 р.)

Зауважимо, що декількома способами (у тому числі – за допомогою метода математичної індукції) можна розв’язати й узагальнену задачу:

5. , де .

Якщо такий трикутник існує, то він – гострокутний. Довести. (Пропонуємо довести цей факт самостійно).

Розділ 4 Єдиність точки перетину висот трикутника. Захист факту

Серед чудових точок трикутника ортоцентру випала доля найбільш “міцного горішка”. Скоріше за все ані грецьким математикам, ані набагато пізніше арабським так і не вдалося довести теорему про те, що три висоти довільного трикутника перетинаються в одній точці. Та й після них це питання довгий час залишалося відкритим...

Зараз існує багато доведень цієї теореми. Ось, наприклад, хоча б таке (рис.1).

В исоти ; ; трикутника є бісектрисами кутів ортоцентричного (доведіть!).

Оскільки точка перетину бісектрис єдина (центр вписаного в трикутник кола), то ; і перетинаються в одній точці.

Але мета цього розділу дещо інша. А саме: продемонструвати застосування факту єдиності ортоцентра трикутника у процесі розв’язання різноманітних геометричних задач.

Тому добірка задач, що будуть запропоновані, “захищає” доведену теорему, підкреслює її корисність, важливість, необхідність.

Задача 1. Чи існує трикутник, в якому ортоцентр співпадає з вершиною?

Розв’язання. Катети прямокутного трикутника – це також і висоти даного трикутника. Оскільки вони перетинаються у вершині прямого кута, то й висоти проходять через цю вершину. Тому вершина прямого кута в прямокутному трикутнику є його ортоцентром.

Задача 2. Вершина гострого кута трикутника недоступна. Проведіть пряму, яка містить висоту .

Розв’язання. Проведемо висоти і (рис.2). Нехай – точка їх перетину. З точки опустимо перпендикуляр на . Очевидно, що пряма є шуканою.

Задача 3. Всі вершини гострокутного трикутника недоступні. Знайдіть ортоцентр трикутника.

Р озв’язання. Проведемо (там де це можливо) (рис.3). З точок і опустимо перпендикуляри і на “шматочки” сторін і . Нехай вони перетнуться в точці . Проведемо з перпендикуляр на . Очевидно, що пряма містить висоту трикутника . Побудуємо аналогічно пряму, що містить . Тоді і в перетині дадуть ортоцентр трикутника .

Задача 4 (Якоба Штейнера). На відрізку як на діаметрі побудовано півколо з невідомим центром. Всередині півкола дано точку . За допомогою однієї лінійки проведіть з точки перпендикуляр до .

Р озв’язання. Проведемо проміні і до перетину з півколом в точках і (рис.4). З’єднаємо з і з . Тоді (вписані, спираються на діаметр). Продовжимо та до перетину в точці . Тоді і – висоти в трикутнику , а точка – його ортоцентр. Пряма містить третю висоту трикутника і буде перпендикулярною до .

Задача 5. – паралелограм. З вершини проведено перпендикуляр на діагональ (рис.5). Через вершину проведено пряму , а з вершини – пряму . Доведіть, що прямі і перетинаються на .

Р озв’язання. Оскільки , то . Аналогічно . Отже, прямі і містять висоти трикутника . Однак і є висотою в цьому трикутнику. Таким чином, , і перетинаються в одній точці – ортоцентрі трикутника .

З адача 6. Точки і лежать на колі по різні сторони від діаметра (рис.6). – точка перетину прямих і . – точка перетину прямих і . Знайдіть кут між прямими і .

Розв’язання. Кути і – прямі (бо вони вписані і спираються на діаметр). Тоді і є висотами в трикутнику . А точка їх перетину – його ортоцентр. Отже, пряма містить третю висоту трикутника , тобто .

Задача 7. Трикутник – прямокутний ( ). Точка – середина висоти , точка – середина відрізка (рис.7). Під яким кутом перетинаються прямі і ?

Р озв’язання. З’єднаємо і . Тоді – середня лінія в трикутнику , тобто . Таким чином, пряма перпендикулярна до . При цьому (за умовою). Отже, точка – ортоцентр в трикутнику . Тоді пряма містить третю висоту цього трикутника, або .

З адача 8. Вписане в коло дотикається сторін , і відповідно в точках ; ; . Через ці три точки проведено прямі паралельно бісектрисам , і трикутника відповідно. Довести, що проведені прямі перетинаються в одній точці.

Доведення. Очевидно, що (рис.8). Тоді пряма , проведена паралельно , містить висоту трикутника . Таким чином, прямі ; і перетнуться в одній точці – ортоцентрі трикутника .

Задача 9. Точка – центр кола, вписаного в прямокутний трикутник ( ). – висота, яку проведено до гіпотенузи . та – центри кіл, вписаних в трикутники і відповідно. Доведіть, що (рис.9).

Доведення. Кут дорівнює (складає половину прямого кута ).

.

Оскільки точки та належать бісектрисі кута , то . Тоді в трикутнику ( ) знайдемо кут . Він дорівнює , тобто – висота в трикутнику .

Аналогічно можна показати, що , тобто є висотою в трикутнику . Таким чином, точка – ортоцентр в , а пряма містить третю висоту. Отже, .

Задача 10. Доведіть, що прямі, які з’єднують середини сторін трикутника з серединами його відповідних висот, перетинаються в одній точці.

Д оведення. Нехай в трикутнику ; ; – середини сторін , і , а ; ; – середини висот ; ; відповідно (рис.10). Очевидно, що точки ; ; належать середнім лініям трикутника . Доведемо, що ; і перетинаються в одній точці. Для цього, відповідно до теореми Чеви, необхідно довести, що

.

Але (оскільки і ). Аналогічно можна показати, що и .

Оскільки висоти ; ; трикутника перетинаються в одній точці, то за теоремою Чеви виконується рівність: .

Таким чином, і .

Отже, прямі ; і перетинаються в одній точці.