Розділ 14 Слово про медіанний трикутник

Нехай маємо трикутник зі сторонами , , с. Тоді медіанним трикутником назвемо трикутник зі сторонами, які дорівнюють медіанам , , даного трикутника . Визначимо властивості медіанного трикутника, які здаються корисними та важливими для ерудиції учнів, зацікавлених математикою.

Задача 1. Довести, що з медіан будь-якого трикутника завжди можна утворити трикутник.

Д оведення. Нехай – центроїд – точка перетину медіан трикутника (рис.1).

Тоді . Подвоїмо відрізок ( ). Тоді дістанемо паралелограм , половина якого – трикутник .

Причому , , . Отже, оскільки існує , утворений з медіан даного трикутника, то також існує й трикутник, побудований з медіан .

Задача 2. Довести, що площа медіанного трикутника становить площі трикутника , тобто .

Доведення. Відомо, що медіани трикутника ділять його на 6 рівновеликих частин (доведіть). Отже, (рис.1). Оскільки трикутники та рівновеликі, то .

Площі подібних фігур відносяться як квадрати відповідних лінійних елементів. Ось чому маємо: .

Отже, , звідки ; або .

Задача 3. Знайти відношення суми квадратів сторін медіанного трикутника до суми квадратів сторін трикутника .

Розв’язання. Скористаємося формулою медіани . Аналогічно: , (доведіть ці формули!).

Тоді, якщо додати ліві і праві частини усіх трьох рівностей, дістанемо: , або .

Задача 4. Довести, що сума котангенсів кутів медіанного трикутника дорівнює сумі котангенсів кутів трикутника .

Доведення. Згідно з теоремою косинусів .

Поділимо обидві частини рівності на . Враховуючи, що , маємо: . Аналогічно ; .

Додавши ліві і праві частини рівностей, дістанемо: .

Оскільки , а , матимемо: .

Але , , – сторони медіанного трикутника, – його площа.

Тобто , де , , – кути медіанного трикутника.

Отже, , що й треба було довести.

Задача 5. Сторони трикутника дорівнюють , , . Знайти , де – кут медіанного трикутника, який лежить проти сторони .

Розв’язання. Згідно з формулою для котангенса кута (задача 4), маємо для котангенса кута в медіанному трикутнику: .

З урахуванням формул медіан (задача 3) дістанемо:

, або . Отже, , де знаходиться за формулою Герона, оскільки відомі , , .

Задача 6. Знайти відношення сторін у трикутнику , коли відомо, що його медіанний трикутник є прямокутним.

Розв’язання. Нехай у медіанному трикутнику кут , який лежить проти , є прямим. Тоді .

Із формули для котангенса кута (задача 5) знаходимо:

, звідки , або .

Відповідь. Якщо в медіанному трикутнику сторони та перпендикулярні, то в трикутнику між сторонами виконується співвідношення: .

Розділ 15 Знайдіть кут а, якщо ...

Дорогі колеги! В 10^ому класі Русанівського ліцею м. Києва було проведено незвичайне тестування з геометрії тривалістю 2 години. Учням запропонували розв’язати 30 різноманітних задач із планіметрії, об’єднаних лише умовою:

“Знайдіть кут нерівнобедреного трикутника , в якому ...”

Протягом двох уроків учням було необхідно розв’язати як можна більшу кількість задач, продемонструвати ерудицію та знання важливих фактів геометрії трикутника. Вимоги до оформлення були мінімальні – щоб вчитель зрозумів учнівські викладки. До того ж були визначені певні позначення. Наводимо їх.

, , – кути трикутника , які лежать відповідно проти

сторін , , .

; ; – його висоти.

; ; – бісектриси його кутів.

; ; – медіани в цьому трикутнику.

– ортоцентр трикутника (точка перетину висот).

– центроїд (точка перетину медіан).

і – центри відповідно описаного і вписаного кіл радіусів і .

; ; – відповідно висота, бісектриса і медіана, проведені з вершини кута .

– площа трикутника .

; ; – точки дотику вписаного в кола зі сторонами , і відповідно.

Кращі результати серед учнів Русанівського ліцею показали:

Гамалія Ростислав – 23 задачі.

Панасюк Олексій – 22 задачі.

Борисенко Дмитро – 22 задачі.

Зауважимо, що найбільших труднощів завдали задачі за номерами 5 і 9.

Цим тестом ми викликаємо учнів провідних ліцеїв, гімназій, шкіл України, всіх тих, хто любить геометрію, на таке заочне змагання.

Будемо раді почути відгуки колег і учнів щодо цього тесту. Що сподобалось, що не дуже, на скільки він є корисним, що потрібно змінити. До речі, може це стане своєрідною формою спілкування вчителів математики, оскільки, нажаль, ми дуже роз’єднані територіально і не завжди маємо можливість особисто висловити симпатію один одному.

Отже, тест:

“Знайдіть кут А нерівнобедреного трикутника АВС, в якому ...”

1. і ділять його на 3 рівні частини.

2. точки ; ; ; належать одному колу.

3. виконується рівність .

4. .

5. .

6. .

7. сторону видно під однаковими кутами з точок і , які знаходяться з одного боку від .

8. .

9. .

10. і .

11. точки і симетричні одна до одної відносно ( – точка перетину продовження бісектриси з описаним навколо колом).

12. і утворюють рівні кути зі сторонами, що виходять

з вершини .

13. , – середня за довжиною сторона.

14. .

15. є бісектрисою кута .

16. тангенси кутів трикутника – послідовні цілі числа ( – найменший кут).

17. .

18. ділить площу навпіл.

19. .

20. відрізок видно з середини гострокутного під прямим кутом.

21. .

22. .

23. пряма Ейлера відтинає від і рівні відрізки, починаючи з вершини кута .

24. ; і серединний перпендикуляр до перетинаються в одній точці.

25. точки і симетричні одна до одної відносно зовнішньої бісектриси кута .

26. і , – найменша висота.

27. відрізок в гострокутному трикутнику є діаметром кола Ейлера.

28. ; .

29. трикутник є рівнобедреним.

30. виконується рівність: .

Розв’язання.

1. Н ехай , тоді (рис.1). Медіана є бісектрисою в трикутнику – за умовою. Скориставшись властивістю бісектриси, отримаємо: . Оскільки катет вдвічі менший за гіпотенузу , то він лежить проти кута . Тоді і .

2. В ідомо, що (рис.2). Оскільки чотирикутник – вписаний, то , звідки .

3. За умовою , або . За формулою бісектриси . Таким чином, ; і .

4. Скориставшись формулою , отримаємо , або , звідки або .

5. С користавшись теоремою Менелая, неважко показати, що пряма перетне продов-ження в точці – основі зовнішньої бісектриси кута (рис.3). Тоді очевидно, що точки ; ; ; належать одному колу ( як кут між бісектрисами суміжних кутів і – за умовою). Отже (вписані, спираються на одну дугу). Але (зовнішній для ). Тоді також і . Аналогічними міркуваннями можна показати, що .

Оскільки , то маємо , або . Отже .

Примітка. Неважко показати, що пряма не може перетинати пряму збоку точки .

6. За теоремою косинусів , або . За умовою , або . Але (формула площі трикутника ). Отже, , або . .

7. Оскільки , а (центральний), то , звідки (рис.4).

8. (за теоремою синусів). Але – відома формула для цього відрізка. Таким чином, , звідки . або .

9. Н еважко показати, що (рис.5). Аналогічно . Тоді і . Оскільки , то

. Враховуючи умову, отримаємо: .

1. , звідки . Але в усіх задачах не є рівнобедреним.

2. ; , звідки .

10. Нехай , і (рис.6). Продовжимо висоти і до перетину з описаним колом в точках і відповідно. Відомо, що і . Тоді за теоремою про добуток відрізків хорд: , або .

З трикутника знайдемо синус кута : .

Але (з трикутника ).

О тже, . .

11. Неважко показати, що (рис.7). Але . Тоді й . Оскільки чотирикутник – вписаний у коло, то , звідки .

12. Нехай (рис.8). Продовжимо медіану до перетину з описаним колом в точці .

(вписані, спираються на одну дугу). Але (з трикутника ). Тоді й . Таким чином, у трикутнику і – діаметр. Тепер неважко показати, що – центр описаного кола, а – також діаметр. Отже, .

13. В ідомо, що , звідки (рис.9). Тоді .

Але (з прямокутного ). Отже, , звідки .

За умовою , тобто , або . .

14. Оскільки , то бісектриса ділить навпіл також і (рис.10). Але за умовою . Таким чином, – рівнобедрений, і , причому , .

Тоді , або . Очевидно, що в даній задачі кут гострий, отже .

15. Н еважко показати, що – центр зовні вписаного кола для (точка перетину бісектрис: внутрішньої кута і зовнішньої кута ) – рис.11.

Тоді – друга зовнішня бісектриса в трикутнику і . Але . Отже , звідки .

16. Нехай і ; ; . Скориставшись відомою формулою для тангенсів кутів трикутника , отримаємо:

, або , або і .

– значення для , яке не відповідає умовам задачі, оскільки в цьому випадку всі три кути в трикутнику є тупими. Так, і . .

17. З а теоремою синусів для : , або (рис.12). До того ж (теорема синусів для ).

За умовою , звідки , або . .

18. В ідомо, що . Тоді (рис.13).

Але (розв’язання задачі 13). Отримаємо і .

Кут повинен бути гострим (інакше відрізок знаходиться зовні трикутника ), тобто і .

19. Н авколо чотирикутника можна описати коло (два протилежні кути по ), діаметром якого є відрізок (рис.14). Тоді за теоремою синусів для маємо: , або  .

Оскільки за умовою , то і .

20. – як медіани, проведені до гіпотенуз відповідно в трикутниках і (рис.15). Тоді і . Але за умовою , тобто , або і .

21. З а умовою . Це означає, що (рис.16) і , а . Але (з трикутника ). Тоді й або .

22. , або , або . .

23. Н ехай пряма Ейлера (пряма ) перетинає і в точках  і відповідно і (рис.17). Тоді . Але й . Із рівності трикутників і випливає, що , тобто , звідки .

Оскільки кут – гострий ( знаходиться всередині трикутника ), то .

24. Н ехай ; і серединний перпендикуляр до сторони перетинаються в точці (рис.18). Тоді – рівнобедрений ( – висота і медіана) і . Але , а (з трикутника ). Таким чином, , звідки .

25. Оскільки за умовою (рис.19) і то або . В даній задачі кут – тупий, тоді .

26. З а умовою і ; і (рис.20).

А ле , тобто , звідки і .

27. Оскільки – діаметр кола Ейлера, а точка – середина – також належить цьому колу, то (рис.21). Тоді за

задачею 20 .

28. Н ехай (рис.22). Тоді і . і . Тоді за теоремою косинусів для трикутника :

, звідки і .

29. О чевидно, що саме , а не якось інакше, оскільки (тупий) – рис.23.

Нехай і . Для за теоремою синусів (1).

Для за теоремою синусів (2).

Порівнюючи (1) і (2), отримаємо: .

Якщо , то (оскільки і – зовнішні кути відповідно в трикутниках і ). Тоді , що непередбачено умовою задачі – не є рівнобедреним.

Якщо , то , або , або і .

30. За умовою . Позбавившись знаменника, отримаємо: . Але за теоремою косинусів .

Отже, і .