Розділ 13 Одна задача – але яка!

(у співавторстві з О. Карлюченко)

Ця задача була запропонована на Київський міський олімпіаді 1997 року у 8 класі. Відразу вона здобула популярність завдяки вишуканості, багатьом способам розв’язання, емоційному впливу на учнів та педагогів.

Назвемо цю задачу головною. Ось вона.

Головна задача. У трикутнику проведено бісектрису (рис.1). На стороні узята точка – така, що . Довести, що є бісектрисою .

Запропонуємо один з найкрасивіших способів розв’язання головної задачі.

Р озв’язання. Продовжуючи , отримаємо (рис.1). Тоді є зовнішньою бісектрисою для . Відомо, що дві зовнішні бісектриси трикутника та одна внутрішня перетинаються в одній точці – центрі зовні вписаного кола (доведіть!). Отже, – зовнішня бісектриса трикутника , тобто .

Дійсно, задача гарна! І все ж таки навряд чи вона заслуговувала б окремої розмови, якби факт, доведений у ній, не використовувався б настільки ефектно та ефективно під час розв’язання інших, часом досить складних, задач.

З адача 1. У рівнобедреному трикутнику . На основі узята точка – така, що відрізок ділить трикутник на два рівнобедрених трикутника (рис.2). – бісектриса кута . Знайти .

Розв’язання. За умовою . . Оскільки і – бісектриса, то за головною задачею є бісектрисою кута , тобто . Тоді . Отже, .

Задача 2. У трикутнику кут дорівнює . , , – бісектриси його внутрішніх кутів. Знайти кут (рис. 3).

Р озв’язання. Оскільки , то за головною задачею є бісектрисою кута , тобто . Аналогічно і – бісектриса кута , тобто . Тоді кут є кутом між бісектрисами суміжних кутів. Отже, кут дорівнює .

Задача 3. – висота, а – бісектриса у трикутнику (рис.4). . Довести, що .

Р озв’язання.

(з ). Оскільки є зовнішнім для трикутника , то , або , або . Отже, . Тоді за головною задачею є бісектрисою кута , тобто .

З адача 4. Побудувати трикутник за вершиною , основою бісектриси кута та точкою ( належить стороні ), якщо відомо, що .

Аналіз. Підрахувавши кути трикутника (рис.5), отримаємо: . Тоді за головною задачею є бісектрисою .

Побудова. З’єднаємо точки , , . Відкладемо і проведемо через точку пряму, яка перетне пряму у точці . Оскільки , то маємо також і .

Отже, під кутом до проведемо промінь з точки , який перетнеться з прямою у точці . Трикутник – шуканий!

Задача 5 (Всеукраїнська Олімпіада 1973 р.).

Трикутник має такі кути: ; ; . Довести, що висота , медіана і бісектриса перетинаються в одній точці.

Доведення. Нехай висота і бісектриса трикутника перетинаються у точці (рис.6). Очевидно, що .

Т оді , і за головною задачею є бісектрисою кута , тобто . Отже, трапеція. За властивістю трапеції (точка перетину продовжень бічних сторін, точка перетину діагоналей та середини основ належать одній прямій) пряма повинна пройти через середини відрізків і . Таким чином, пряма пройде через точку – середину . А це й означає, що висота , медіана і бісектриса перетинаються в одній точці.