Розділ 12 Застосуємо теорему синусів і ... Розв’яжемо задачу!

Т еорема синусів має досить широке застосування у процесі розв’язання геометричних задач. Найчастіше її силу і ефективність демонструють під час вивчення теми “Розв’язання трикутників”. Далі ж теорему синусів учні використовують доволі випадково. Здається, що ми, вчителі, відчуваємо недостачу добірки задач, в яких теорема синусів є вирішальним інструментом розв’язання. Тож, спробуємо заповнити певний вакуум у цьому питанні і запропонуємо добірку задач на теорему синусів.

Задача 1. В трикутнику кут дорівнює . Доведіть, що ( – радіус описаного навколо кола).

Розв’язання. Нехай (рис.1). За теоремою синусів , або ; .

Задача 2. – точка перетину висот (ортоцентр) в . Доведіть, що .

Р озв’язання. Нехай і – висоти в трикутнику , які перетинаються в точці (рис.2). В чотирикутнику кут . Тоді й вертикальний з ним .

За теоремою синусів для : . Але й . Отже, .

З адача 3. Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки і (рис.3). Доведіть, що .

Розв’язання. За теоремою синусів для : , або . Враховуючи властивість бісектриси , отримаємо необхідне.

Задача 4. – точка на медіані трикутника . Відомо, що . Довести, що .

Р озв’язання. Нехай (рис.4). Для трикутника за теоремою синусів маємо: (1).

За тією ж теоремою для : (2).

Порівнявши (1) і (2), отримаємо: .

Задача 5. Відомо, що в трикутнику кут удвічі більший за кут . , . Знайдіть радіус описаного навколо кола.

Р озв’язання. Нехай і (рис.5). Тоді за теоремою синусів , звідки . .

, або .

Задача 6. – центр квадрата зі стороною . – середина . Знайдіть радіус кола, проведеного через точки , , (рис.6).

Р озв’язання. Очевидно, що . (з ).

За теоремою синусів для : , звідки ; .

Задача 7. Знайдіть кути трикутника , в якому , ( – радіус описаного навколо кола).

Р озв’язання. За теоремою синусів для : (рис.7). Отже, і або .

Аналогічно і . Тоді (беремо зі знаком “+”, оскільки не є найбільшим кутом, тобто ). Отже, .

Тепер ми можемо знайти кут або .

Задача 8. На діаметрі кола радіуса взято довільну точку . Точки і , що належать колу, утворюють кути і , які обидва дорівнюють (рис.8). Знайдіть .

Р озв’язання. Нехай і . Застосуємо теорему синусів для трикутників і відповідно: і , звідки . Оскільки і – гострі, то вони рівні. Тоді точки , , , належать одному колу і .

Таким чином, – рівнобедрений з кутом при вершині, тобто він – рівносторонній. Отже, .

Задача 9. Серединний перпендикуляр до бісектриси трикутника перетинає продовження в точці (рис.9). Довести, що .

Р озв’язання. Очевидно, що – рівнобедрений ( є медіаною і висотою в ньому). (зовнішній для ). Тоді й і, оскільки , то .

– теорема синусів для трикутника .

Отже, (1).

За теоремою синусів для маємо: . Враховуючи те, що , отримаємо: (2).

Поділимо (1) на (2): .

Задача 10. Сторони вписаного чотирикутника дорівнюють

, , , . Знайти відношення його діагоналей.

Р озв’язання. Нехай і (рис.10). Нехай також і . Тоді і (теореми синусів для трикутників і відповідно). Отже, .

і .

Тоді (1).

і , звідки (2).

Прирівнявши (1) і (2), отримаємо: , звідки .

Декілька задач на ефективне застосування теореми синусів пропонуємо для самостійного розв’язання.

Задача 11. Знайдіть кут трикутника , в якому ( – інцентр, точка перетину бісектрис трикутника ).

Задача 12. Доведіть властивість бісектриси: (рис.3) за допомогою теореми синусів.

Задача 13. У сторони і дорівнюють і відповідно. – довільна точка на стороні цього трикутника. Знайдіть відношення радіусів кіл, описаних навколо трикутників і .

Задача 14. – центр описаного кола трикутника . Навколо описано коло , яке перетинає прямі і в точках і відповідно. Навколо описано коло . Доведіть, що .

Задача 15. Дано . Сторону продовжено за точку до точки у такий спосіб, що ( ) – рис.11. Аналогічно , де . Доведіть, що .

Задача 16. Доведіть властивість зовнішньої бісектриси трикутника: , де – основа зовнішньої бісектриси кута в трикутнику .