2.2. Мощность и энергия сигналов

Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений (отсчетов) во времени, в пространстве или по любым другим аргументам.

Для произвольного, в общем случае комплексного, сигнала s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) – вещественные функции, мгновенная мощность (instantaneous power) сигнала по определению задается выражением:

w(t) = s(t) s*(t) = [a(t)+jb(t)] [a(t)-jb(t)] = a²(t)+b²(t) = |s(t)|², (2.9)

т.е. функция распределения мгновенной мощности по аргументу сигнала равна квадрату функции его модуля, для вещественных сигналов – квадрату функции амплитуд.

Аналогично для дискретных сигналов:

w_n = s_n s*_n = [a_n+jb_n] [a_n-jb_n] = a_n² + b_n² = |s_n|², (2.9')

Энергия сигнала (также по определению) равна интегралу от мощности по всему интервалу существования или задания сигнала. В пределе:

Е_s = w(t)dt = |s(t)|²dt. (2.10)

E_s = w_n = |s_n|². (2.10')

Мгновенная мощность w(t) является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию на интервалах ненулевой длины:

w() = (1/t) |s(t)|²dt

Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют финитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности, которые не содержат дельта-функций и особых точек (разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность). В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов.

Как правило, сигналы изучаются на определенном интервале Т, для периодических сигналов – в пределах одного периода Т, при этом средняя мощность (average power) сигнала:

W_T() = (1/T) w(t) dt= (1/T) |s(t)|² dt. (2.11)

Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энергия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное определение средней мощности сигнала должно производиться по формуле:

W_s = w(t) dt. (2.11')

Квадратный корень из значения средней мощности характеризует действующее (среднеквадратическое) значение сигнала (root mean sqare, RMS).

Применительно к электрофизическим системам, данным понятиям мощности и энергии соответствуют вполне конкретные физические величины. Допустим, что функцией s(t) отображается электрическое напряжение на резисторе, сопротивление которого равно R Ом. Тогда рассеиваемая в резисторе мощность, как известно, равна (в вольт-амперах):

w(t) = |s(t)|²/R,

а полная выделенная на резисторе тепловая энергия определяется соответствующим интегрированием мгновенной мощности w(t) по интервалу задания напряжения s(t) на резисторе R. Физическая размерность мощности и энергии в этом случае определяется соответствующей физической размерностью функции напряжения s(t) и сопротивления резистора R. Для безразмерной величины s(t) при R=1 это полностью соответствует выражению (2.2.1). В теории сигналов в общем случае сигнальные функции s(t) не имеют физической размерности, и могут быть формализованным отображением любого процесса или распределения какой-либо физической величины, при этом понятия энергии и мощности сигналов используются в более широком смысле, чем в физике. Они представляют собой метрологические характеристики сигналов.

Из сравнения выражений (2.9) и (2.10) следует, что энергия и норма сигнала связаны соотношениями:

E_s = ||s(t)||², ||s(t)|| = (2.12)

Пример. Цифровой сигнал задан функцией s(n) = {0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,0,0,0....}.

Энергия сигнала: E_s = s²(n) = 1+4+9+16+25+16+9+4+1 = 85.

Норма: ||s(n)|| =  9.22

Вычислим энергию суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t)

E = [u(t)+v(t)]² dt = E_u + E_v + 2 u(t)v(t) dt. (2.13)

Как следует из этого выражения, энергия сигналов (а равно и их мощность), в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию

E_uv = 2 u(t)v(t) dt. (2.14)

Нетрудно заметить, что энергия взаимодействия сигналов равна их удвоенному скалярному произведению

E_uv = 2 u(t), v(t). (2.14')

При обработке данных используются также понятия мощности взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t):

w_xy(t) = x(t) y*(t), (2.15)

w_yx(t) = y(t) x*(t),

w_xy(t) = w*_yx(t).

Для вещественных сигналов:

w_xy(t) = w_yx(t) = x(t) y(t). (2.16)

С использованием выражений (2.15-2.16) интегрированием по соответствующим интервалам вычисляются значения средней мощности взаимодействия сигналов на определенных интервалах Т и энергия взаимодействия сигналов.