2.1.6. Скалярное произведение произвольных сигналов
Скалярное произведение произвольных сигналов u(t) и v(t) отражает степень их связи (сходства) по форме и положению в пространстве сигналов, и обозначается как u(t), v(t).
u(t), v(t) = ||u(t)||||v(t)|| cos , (2.4)
Физическую сущность скалярного произведения векторов в двумерном пространстве можно наглядно видеть на рис. 2.4. Это произведение "длины" (нормы) одного вектора на проекцию второго вектора по "направлению" первого вектора.
При кажущейся абстрактности скалярного произведения сигналов оно может приобретать вполне конкретный физический смысл для физических процессов, которые отображаются этими сигналами. Так, например, если v = F – сила, приложенная к телу, а u = s – перемещение тела под действием этой силы, то скалярное произведение W = F·s определяет выполненную работу, при условии совпадения силы с направлением перемещения. В противном случае, при наличии угла между векторами силы и перемещения, работа будет определяться проекцией силы в направлении перемещения, т.е. W = s·F·cos .
Рис. 2.4. Скалярное произведение сигналов в двумерном пространстве
Вычисление скалярного произведения обычно производится непосредственно по сигнальным функциям. Поясним это на примере двумерных сигналов с использованием рисунка 2.2. Для квадрата метрики сигналов s и v имеем:
||s-v||2 = ||s||2 + ||v||2 – 2 ||s|| ||v|| cos ||s||2 + ||v||2 – 2s, v.
2s,v = ||s||2 + ||v||2 - ||s-v||2 = (s12+s22)+(v12+v22)–{(s1-v1)2+(s2-v2)2} = 2(s1v1+s2v2).
s,v = s1v1+s2v2.
Обобщая полученное выражение на аналоговые сигналы:
s(t), v(t) = s(t)v(t) dt. (2.5)
Соответственно, для дискретных сигналов в N-мерном пространстве:
sn,
vn
=
sn
vn.
(2.5')
Линейное пространство аналоговых сигналов с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н (второе распространенное обозначение – L2). Линейное пространство дискретных и цифровых сигналов – пространством Евклида (обозначение пространства – R2). Норма и метрика пространств Гильберта и Эвклида определяются выражениями (2.2) и (2.3). Метрика пространств называется среднеквадратичной метрикой и определяет среднеквадратичное отклонение одного сигнала от другого. В этих пространствах справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского
|s,v| ||s||||v||, (2.6)
т.к. модуль косинуса в (2.4) может быть только равным или меньше 1
Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение вычисляется по формуле
s(t), v(t) = s(t)v*(t) dt. (2.7)
При определении функций в пространстве L2[a,b] вычисление скалярного произведения производится соответственно с пределами интегрирования от а до b.
Из выражения (2.4) следует косинус угла между сигналами:
cos = s(t),v(t) /(||s||||v||). (2.8)
Пример. Имеется два смещенных во времени прямоугольных импульса с одинаковой амплитудой и длительностью: s1(t) = 2 при 0 t 5, s1(t) = 0 при других t; и s2(t) = 2 при 4 t 9, s2(t) = 0 при других t.
Квадраты норм
сигналов: ||s1||2
=
s12(t)dt
= 20. ||s2||2
=
s22(t)dt
= 20
Скалярное
произведение:
s1,s2
= 
s1(t)
s2(t)
dt = 8.
Отсюда имеем: cos = (s1,s2)/ (||s1||||s2||) = 8/20 = 0.4 и 1.16 радиан 66о
При полном совмещении
сигналов: s1,s2
=
s1(t)
s2(t)
dt = 20, cos
= 1,
= 0.
При отсутствии перекрытия сигналов: s1,s2 = 0, cos = 0, = 90о.
Физическое понятие "угла" между многомерными сигналами довольно абстрактно. Однако при рассмотрении выражения (2.1.8) совместно с выражением для квадрата метрики сигналов
(s,v) = [s(t)-v(t)]2 dt = ||s||2 + ||v||2 - 2||s||||v|| cos .
можно отметить следующие закономерности. При (cos = 1) сигналы "совпадают по направлению" и расстояние между ними минимально.
При = /2 (cos = 0) сигналы "перпендикулярны друг другу" (иначе говоря – ортогональны), и проекции сигналов друг на друга равны 0.
При (cos = -1) сигналы "противоположны по направлению" и расстояние между сигналами максимально.
Фактор расстояния между сигналами играет существенную роль при их селекции в многоканальных системах.