2.1.4. Норма сигналов

Норма сигналов в линейном пространстве является аналогом длины векторов, и обозначается индексом ||s(t)|| – норма (norm). В математике существуют различные формы норм. При анализе сигналов обычно используются квадратичные нормы

||s(t)|| = . (2.2)

Для дискретных сигналов:

||s(n)|| = . (2.2')

Для комплексных сигналов

||s(t)|| = , (2.2'')

где s*(t) – величины, комплексно сопряженные с s(t).

Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому сигналу пространства s(t) однозначно сопоставлена его числовая норма ||s(t)||, и выполняются следующие аксиомы:

1. Норма неотрицательна (||s(t)|| ≥ 0) и равна нулю тогда и только тогда, когда сигнал равен нулю (||s(t)|| = , при s(t) = ).

2. Для любого числа b должно быть справедливо равенство

||bs(t)|| = |b|  ||s(t)||.

3. Если v(t) и u(t) – сигналы из пространства L, то должно выполняться неравенство треугольника ||v(t)+u(t)||  ||v(t)|| + ||u(t)||.

Пример норм для двумерных цифровых сигналов приведен на рис. 2.2.

2.1.5. Метрика сигналов

Линейное пространство сигналов L является метрическим, если каждой паре сигналов s(t)  L и v(t)  L однозначно сопоставляется неотрицательное число (s,v) – метрика (metric) или расстояние между векторами. Пример метрики для двух векторов в двумерном пространстве приведен на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Норма и метрика сигналов

Для метрик сигналов в метрическом пространстве любой размерности должны выполняться аксиомы:

1. (s,v) = (v,s) – рефлексивность метрики.

2. (s,s) = 0 для любых s(t)  L.

3. (s,v)  (s,a) + (a,v) для любых a  L.

Метрика определяется нормой разности двух сигналов (см. рис. 2.2)

(s,v) = || s(t) – v(t) ||. (2.3)

В свою очередь норму можно отождествлять с расстоянием от выбранного элемента пространства до нулевого ||s(t)|| = (s(t),).

По метрике сигналов можно судить, например, о том, насколько точно один сигнал может быть аппроксимирован другим сигналом, или насколько изменяется выходной сигнал относительно входного при прохождении через какое-либо устройство.

Пример. Сигнал на интервале (0,Т) представляет собой половину периода синусоиды амплитудой A: s(t) = Asin(t/T), 0  t  T. Требуется аппроксимировать сигнал прямоугольным импульсом п(t) (см. рис. 2.3).

Если принять амплитуду импульса п(t) равной В, то квадрат расстояния между сигналами: ²(s,п) = (A sin(t/T)-В)² dt = A²T/2 - 4ABT/ + B²T.

Для решения задачи требуется найти минимум выражения ²(s,п). Дифференцируем полученное выражение по В, приравниваем нулю и, решая относительно В, находим значение экстремума: В = 2A/  0.64А. Это искомое значение минимума функции ²(s,п) (вторая производная функции по В положительна). При этом минимальное значение метрики: _min  0.31A . Вычислим нормы сигналов при А = 1:

Е_s = А² sin² (t/T) dt = A² T/2 = 10. Норма: ||s(t)|| = = 0.707 A  3.16.

Е_п = B² dt = B² T  8.1. Норма: ||п(t)|| = = B  2.85.

Рис. 2.3

Метрика (2.3) не единственно возможная. Пространство сигналов может иметь несколько метрик. Так, для дискретных сигналов, заданных на интервале Т, могут задаваться метрики по модулю разности и по максимуму модуля разности:

₁(s,v) = |s_n - v_n|, ₁(s,v) = max_n |s_n - v_n|.

Метрика в пространстве N-разрядных двоичных сигналов х и у для любой парой таких сигналов вполне будет определяться числом несовпадающих символов, которое называют расстоянием по Хеммингу для двоичных слов:

x,y) = [s_n ⊕ v_n],

где знак  означает сложение по модулю 2 (1+0 = 0+1 = 1, 0+0 = 1+1 = 0 без переноса в старший разряд).