23. Подкольца, определение, критерий, свойства

1) Подкольцо кольца   — это пара  , где   — кольцо, а   — мономорфизм (вложение) колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий.

В классическом определении подкольцо кольца   рассматривается как подмножество  , замкнутое относительно операций   и   из основного кольца. 

Примеры

1. Любой идеал (левый, правый, двусторонний) замкнут относительно сложения и умножения, поэтому является подкольцом в  .

2. В   идеал является подкольцом только тогда, когда содержит  , поэтому он обязан совпадать со всем кольцом. Поэтому в  собственные идеалы не являются подкольцами.

3. В   подкольцами в   являются всевозможные главные идеалы  . В     не имеет собственных подколец.

4. Кольцо целых чисел   является подкольцом поля вещественных чисел   и подкольцом кольца многочленов  .

2) Теорема (критерий подкольца) Подмножество I кольца К является подкольцом тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно вычитания элементов и умножения , т.е. если

(1) (2)

 Пусть (где “ ,,- “ быть подкольцом ,,) .Покажем что (1) и (2) имеют место.

Так как , то он является кольцом, а кольцо это абелева група, тогда для , поэтому следовательно (1) выполнено. Выполнимость (2) вытекает из того что I замкнуто относительно умножения.

• Пусть , (1),(2) – выполнены. Покажем, что I – подкольцо, т.е. что I – кольцо.

Для этого проверим выполнимость всех аксиом кольца. Из (2) следует, что I – замкнуто относительно умножения, ассоциативность умножения следует из того,что .

Рассмотрим условие (1). Пусть ,но , , ассоциатив -ность сложения вытекает из того что . Таким образом, все аксиомы кольца имеют место в I, следовательно, I – кольцо. Так как , то это подкольцо.

Свойства подкольца.  Пусть  подкольцо кольца  . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) для любых элементов   и   множества   элементы   и   также принадлежат множеству  ;

2) ноль и единица кольца   являются соответственно нулём и единицей подкольца 

24. Теорема о минимальном подкольце.

тетрадь

25. Идеалы колец

Для кольца   идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из  . При этом идеал называется левым(соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из  . Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. Двусторонний идеал часто называется просто идеалом. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают и всегда применяется термин идеал.

Более точно: Идеалом кольца   называется такое подкольцо   кольца  , что

1.  произведение   (условие на правые идеалы);

2.  произведение   (условие на левые идеалы).

Аналогично для полугруппы её идеалом называется подполугруппа, для которой верно какое-нибудь из этих условий (или оба для двустороннего идеала), то же самое и для алгебры.

Свойства:

• Левые идеалы в R являются правыми идеалами в т.н. противоположном кольце   — кольце с теми же элементами и тем же сложением, что и данное, но с умножением определенным  , и наоборот.

• Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные подгруппы в группах:

  • Для всякого гомоморфизма   ядром   является идеал, и обратно, всякий идеал — ядро некоторого гомоморфизма.

  • Более того, идеал однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ гомоморфизма, ядром которого он является:   изоморфенфакторкольцу (факторалгебре)  .

• В кольце   целых чисел все идеалы главные и имеют вид  , где  .

• Пересечение идеалов также является идеалом (часто, особенно в коммутативной алгебре, пересечение называется наименьшим общим кратным).

26. Главные идеалы колец

Левый идеал кольца   называется главным левым идеалом, если он порождён одним элементом  . Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы.

Общепринятых обозначений для главных идеалов нет. Иногда используют обозначения  ,  ,   для левых, правых и двусторонних главных идеалов соответственно.

Если   — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый  , обозначают через  .

Пример:

Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов   и   как порождающий элемент идеала .

27. Гомоморфизмы колец, их свойства

1) Гомоморфизмом кольца   в (на) кольцо   называется отображение   сохраняющее главные операции кольца   т. е. для любых элементов   имеют место следующие равенства:

1) 

2) 

3) 

4)  если   и   существуют.

• Гомоморфизм кольца   на кольцо   называется эпиморфизмом.

• Эпиморфизм кольца   на кольцо   называется изоморфизмом, если отображение   является инъективным. При этом кольца называются изоморфными. Факт изомор-физма колец обозначают записью вида 

2) Свойства:

1) 

2) 

3) 

4) 

5)   – двусторонний идеал кольца K.

28. Факторкольца

Определение 2.8. Пусть H – двусторонний идеал кольца A, тогда факторкольцом кольца A по идеалу H называется факторгруппа аддитивной

группы кольца по аддитивной группе идеала, на которой определена операция умножения классов смежности по следующему правилу:

(x+H)(y+ H)=xy+ H x.

29. Поле, определение, примеры и простейшие свойства

тетрадь

Множество F с двумя бинарными операциями   (сложение) и   (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группупо сложению  , все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению  , и выполняется свойство дистрибутивности.

Свойства:

• Характеристика поля всегда   или простое число.

  • Поле характеристики   содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел  .

  • Поле простой характеристики   содержит подполе, изоморфное полю вычетов   .

• Количество элементов в конечном поле всегда равно   — степени простого числа.

  • При этом для любого числа вида   существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из   элементов, обычно обозначаемое  .

• Любой ненулевой гомоморфизм полей является вложением.

• В поле нет делителей нуля.

Примеры:

•  — рациональные числа,

•  — вещественные числа,

•  — комплексные числа,

•  — поле вычетов по модулю  , где   — простое число.

•  — конечное поле из   элементов, где   — простое число,   — натуральное.

•  — поле рациональных функций вида  , где   и   — многочлены над некоторым полем   (при этом  , а   и   не имеют общих делителей, кроме констант).

• Числа вида  ,  , относительно обычных операций сложения и умножения.

30. Подполе, определение, критерий, свойства.

тетрадь

Подполе. Множество M поля P называется подполем P, если оно само является полем при тех же операциях сложения и умножения, которые заданы в поле P. Тогда P называется надполем или расширением поля M.

     Так, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел, а последнее - подполем поля комплексных чисел.

31. Теорема о минимальном подполе

тетрадь