14. Гомоморфизмы групп

Гомоморфизм — это морфизм в категории алгебраических систем. Это отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные соотношения.

Отображение   называется гомоморфизмом групп  ,  , если оно одну групповую операцию переводит в другую:  .

Типы гомоморфизмов:

• Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм

• Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм

• Изоморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм

• Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество

• Автоморфизм — взаимно однозначный гомоморфизм в само множество

15. Ядро и образ гомоморфизма, и их свойства

Пусть f − гомоморфизм группы G1 в группу G2. Ядром гомоморфизма Ker f называется множество прообразов нейтрального элемента группы G2. Образом гомоморфизма Im f называется множество образов всех элементов группы G1.

Лемма. Гомоморфный образ f (H) любой подгруппы H группы G1 является подгруппой в G2 и, наоборот, полный прообраз f ^-1(S ) любой подгруппы S группы G2 является подгруппой в G1.

Значит, ядро и образ гомоморфизма являются подгруппами групп G1и G2 соответственно.

Лемма . Пусть f − гомоморфизм группы G1 в группу G2. Ядро гомоморфизма f является нормальной подгруппой; смежные классы по ядру − это полные прообразы элементов из Im f .

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма (теорема о гомоморфизме).

+ м.б. в тетради

?16. Теоремы о гомоморфизмах групп (необходимое и достаточное условие изоморфизма, изоморфность образа фактору по ядру).

Первая теорема 

Пусть   — гомоморфизм групп, тогда:

1. Ядро φ — нормальная подгруппа в G;

2. Образ φ — подгруппа в H;

3. Образ φ изоморфен факторгруппе G / ker φ.

В частности, если гомоморфизм φ сюръективен (т.е. является эпиморфизмом), то группа H изоморфна факторгруппе G / ker φ.

Вторая теорема 

Пусть G — группа, S — подгруппа в G, N — нормальная подгруппа в G, тогда:

1. Произведение   — подгруппа в G;

2. Пересечение S ∩ N — нормальная подгруппа в S;

3. Факторгруппы   и S / (S ∩ N) изоморфны.

Третья теорема 

Пусть G — группа, N и K — нормальные подгруппы в G такие, что K ⊆ N, тогда:

1. N / K — нормальная подгруппа в G / K;

2. Факторгруппа факторгрупп (G / K) / (N / K) изоморфна факторгруппе G / N.

Теорема . Гомоморфный образ группы G изоморфен факторгруппе

этой группы по ядру гомоморфизма, т. е. Im f ≡G/Kerf . (≡ - изоморфен)

17. Теорема о строении циклических подгрупп

Любая подгруппа   циклической группы   сама является циклической группой.

Док-во:

Все элементы группы   с образующей   представимы в виде  . Предположим, что   нетривиальна. Возьмем наименьшее ненулевое  , что   и положим  . Пусть теперь есть некоторое  . Раз  , то   для некоторого  . Имеем  , где  . Вместе с   и   H содержит и  . Поэтому если  , то   — не минимальное ненулевое число, что  . Таким образом, необходимо  . Значит, все элементы   представимы в виде   для некоторого  , что и означает, что   — циклическая группа.