7. Группы подстановок

Симметрической группой множества   называется группа всех перестановок   (то естьбиекций  ) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества   обычно обозначается  . Если  , то   также обозначается через  . Но если  , то   изоморфна  , потому при конечном   считают, что   равно  .

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка  , определяемая как тождественное отображение:

 для всех  .

Свойства:

• При   симметрическая группа   некоммутативна.

• При   симметрическая группа   является неразрешимой (и напротив: при  — разрешимой).

• В случае, если   конечно, число элементов   равно   (факториал n), где   — число элементов  . В частности, 

• Каждая конечная группа   изоморфна некоторой подгруппе группы   (Теорема Кэли).

• Симметрическая группа   допускает следующее задание:

(Можно считать, что   переставляет   и  .)

• Максимальный порядок элементов группы   - функция Ландау.

• центр симметрической группы тривиален при  .

8. Порядок элемента группы

Пусть   — группа и   — элемент группы.

Определение 1. Говорят, что   имеет порядок¹⁾  , если   — наименьшее положительное число такое, что  , то есть  . Если такого положительного   не существует, то говорят, что   имеет бесконечный порядок²⁾. Порядок единичного элемента   считается равным нулю.

Примеры:

• В множестве целых чисел   любой ненулевой элемент имеет бесконечный порядок.

• В группе классов вычетов   элементы   и   имеют порядок 6, элементы   и   — порядок 3, элемент   — порядок 2.

9. Порождающие множества в группе. Циклические группы и их свойства.

1) Порождающее множество группы G (или генератор группы G) - это подмножество S в G, такое что каждый элемент G может быть записан как произведение конечного числа элементов S и их обратных.

Более формально, если S это подмножество группы G, тогда <S>, — подгруппа, порождённая S, — это наименьшая подгруппа в G, содержащая все элементы S, то есть пересечение всех подгрупп, содержащих S. Эквивалентно, <S> это подгруппа всех элементов G, которые могут быть представлены как конечные произведения элементов S и их обратных.

Если G = <S>, говорят, что S порождает G, а элементы S называются порождающими элементами (группы). Если S пусто, то по определению считается <S> = {e}.

2) В теории групп группа   называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение:  .

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени   будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению ( ).

Свойства:

• Все циклические группы абелевы.

• Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе   —   со сложением по модулю n (её также обозначают  ), а каждая бесконечная — изоморфна  , группе целых чисел по сложению.

  • В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.

• Каждая подгруппа циклической группы циклична.

• У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ — функция Эйлера

• Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).

• Прямое произведение двух циклических групп порядков   и   циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.

  • Например,   изоморфна  , но не изоморфна  .

• Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа  , где p — простое число, или  .

• Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).

• Кольцо эндоморфизмов группы   изоморфно кольцу  . При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм  , который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, если и только если r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов  изоморфна  .

Примеры:

• Группа корней из единицы степени n по умножению.

• Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F группой Галуа которого будет G.