§ 8. Аксиоматическое построение теории вероятностей

Замечание. С дальнейшим развитием естествознания возникла необходимость в формально-логическом обосновании теории вероятностей и её аксиоматическом построении. Исторически первым был подход С.Н. Бернштейна, основанный на качественном сравнении случайных событий по их большей или меньшей вероятности. Более современный подход А.Н Колмогорова связывает теорию вероятностей с современной математической теорией функций и теорией множеств.

Отправным пунктом аксиоматики Колмогорова является множество , элементы которого называются элементарными событиями. Вместе с множеством рассматривается множество подмножеств элементарных событий.

Определение 1. Множество называется алгеброй множеств, если выполнены следующие требования:

1) , пустое множество ;

2) ;

3) .

Определение 2. Если в дополнение к требованиям 1) – 3) выполняется требование 4) , то множество называется -алгеброй.

Определение 3. Элементы называются случайными событиями.

Под операциями над случайными событиями понимаются операции над соответствующими множествами.

Сравнительная терминология

Обозначения	Термины
	Теории множеств	Теории вероятностей
	Множество, пространство	Пространство элементарных событий, достоверное событие
	Элемент множества	Элементарное событие
А, В	Подмножество А, В	Случайное событие А, В
	Сумма (объединение) множеств А и В	Сумма случайных событий А и В
	Пересечение множеств А и В	Произведение событий А и В
	Дополнение множества А	Событие, противоположное для А
А\В	Разность множеств А и В	Разность событий А и В
	Пустое множество	Невозможное событие
	Множества А и В не пересекаются (не имеют общих элементов)	События А и В несовместны
А=В	Множества А и В равны	События А и В равносильны
	А есть подмножество В	Событие А влечёт событие В

Аксиомы вероятности

Аксиома 1. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое его вероятностью.

Аксиома 2. .

Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события , , …, попарно несовместны, то .

Замечание. Для классического определения вероятности свойства, выраженные аксиомами 2 и 3, постулировать не нужно, так как они были доказаны.

Следствия из аксиом вероятности

1. .

Доказательство. Свойство непосредственно следует из равенства и аксиомы 3.

2. Для любого события А .

Доказательство. Так как , то по аксиомам 2 и 3 . Следовательно, и .

3. Для любого случайного события А .

Доказательство. Свойство непосредственно следует из 1 и 2 и свойства 1.

4. Если событие А влечёт за собой событие В, то .

Доказательство. Событие В может быть представлено в виде . Отсюда в силу аксиом 3 и 1 получаем .

5. Для произвольных событий А и В .

Доказательство. Поскольку в суммах и слагаемые являются несовместными событиями, то в соответствии с аксиомой 3

и , тогда

, откуда следует

.

Замечание. Свойство 5 называют теоремой сложения для произвольных событий А и В.

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: ; . Оба орудия выстрелили по цели. Найти вероятность попадания хотя бы одним из орудий.

Решение. Пусть событие А – попадание в цель первого орудия, событие В – попадание в цель второго орудия. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А и В независимы. Вероятность события АВ (оба орудия попали в цель) . Так как события А и В совместны, то искомая вероятность .

Следствие 1. Для произвольных событий А и В .

Доказательство следует из .

Следствие 2. Если , , …, - произвольные события, то .

Доказательство проводится по индукции.

Замечание. Система аксиом Колмогорова непротиворечива так как существуют реальные объекты, которые всем этим аксиомам удовлетворяют.

Пример. Пусть , , , , , . Положив , удовлетворим аксиомам Колмогорова.

Система аксиом Колмогорова неполна: даже для одного и того множества вероятности в множестве можно выбрать разными способами.

Пример. Игральная кость. или и . Симметричная и несимметричная кости.

Неполнота системы аксиом теории вероятностей не является свидетельством их неудачного выбора или недостаточной работы по их созданию, а вызвана существом дела: в различных задачах могут встретиться явления, при изучении которых требуется рассматривать одинаковые множества случайных событий, но с различными вероятностями.

Дальнейшее развитие теории нуждается в дополнительном предположении, которое называется расширенной аксиомой сложения. Необходимость новой аксиомы объясняется тем, что в теории вероятностей постоянно приходится рассматривать события, подразделяющиеся на бесконечное число частных случаев.

Аксиома 4 (расширенная аксиома сложения). Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместимых событий , , …, , …, то .

Замечание. Расширенная аксиома сложения может быть заменена равносильной ей аксиомой непрерывности.

Аксиома 4’ (аксиома непрерывности). Если последовательность событий , , …, , … такова, что каждое последующее влечёт за собой предыдущее и произведение всех событий есть невозможное событие, то .

Теорема 1. Расширенная аксиома сложения и аксиома непрерывности эквивалентны.

Доказательство. 1. 4 – 4’. Пусть события , , …, , … таковы, что и для любого выполняется равенство (*).

Очевидно, что

Так как события, стоящие в этой сумме попарно несовместны, то согласно расширенной аксиоме сложения . Но в силу условия (*) . Поэтому . То есть есть остаток сходящегося ряда . Поэтому .

2. 4’ – 4. Пусть события , , …, , …, попарно несовместны и . Положим . По построению для любого . Если событие наступило, то наступило какое-нибудь из событий ( ) и, значит, в силу попарной несовместности событий , события , , … уже не наступили. Таким образом, события , , … невозможны, следовательно, невозможно событие . По аксиоме непрерывности . Так как , то по обычной аксиоме сложения .

Замечание. Аксиоматика Колмогорова позволяет строить теорию вероятностей как часть теории меры, а вероятность рассматривать как неотрицательную нормированную аддитивную функцию множества.

Определение 4. Вероятностным пространством принято называть тройку символов , где – множество элементарных событий, – -алгебра подмножеств , называемых случайными событиями, – вероятность, определённая на -алгебре .