§ 6. Геометрические вероятности

Замечание. Недостаточность классического определения проявляется также и в том, что оно рассматривает конечную полную группу попарно несовместных равновозможных событий. Поэтому появилась модификация классического определения на случай бесконечной полной группы попарно несовместных равновозможных событий.

Определение 1. Пусть на плоскости имеется некоторая область и в ней содержится другая область с измеримой границей. В область наудачу бросается точка. Рассматривается событие , заключающееся в том, что точка, брошенная наудачу в область , попадёт в область . Термин «брошенная наудачу» означает, что брошенная точка может попасть в любую точку области , вероятность попадания в какую-либо часть области пропорциональна мере этой части (длине, площади и т.д.) и не зависит от её расположения и формы. Геометрической вероятностью события (попадания в область ) при бросании наудачу точки в область называется величина . (6.1)

Пример 1. Коэффициенты и квадратного уравнения выбираются наудачу в промежутке . Чему равна вероятность того, что корни будут действительными числами?

Решение. Пусть событие - данное квадратное уравнение имеет действительные корни. Чтобы корни квадратного уравнения были действительными числами, необходимо и достаточно выполнение неравенства . В прямоугольных декартовых координатах множество всевозможных пар чисел и задаётся точками единичного квадрата в I четверти (множество ). Точки, благоприятствующие событию , лежат под параболой (множество ). Тогда, согласно определению (1) и формуле (6.1), искомая вероятность равна .

Пример 2. Парадокс Бертрана. Наудачу берётся хорда в круге. Чему равна вероятность того, что её длина превосходит длину стороны вписанного равностороннего треугольника?

Р ешение 1. По соображениям симметрии можно заранее задать направление хорды. Проведём диаметр, перпендикулярный этому направлению (множество ). Очевидно, что только хорды, пересекающие диаметр в промежутке от четверти до трёх четвертей его длины будут превосходить стороны правильного вписанного треугольника (множество ). Тогда .

Р ешение 2. По соображениям симметрии можно заранее задать один из концов хорды на окружности. Касательная к окружности в этой точке и две стороны правильного вписанного треугольника с вершиной в этой точке образуют три угла по (множество ). Условию задачи благоприятствуют только хорды, попадающие в средний угол (множество ). Тогда .

Решение 3. Чтобы определить положение хорды, достаточно задать её середину внутри данного круга (множество ). Чтобы хорда удовлетворяла условию задачи, необходимо, чтобы её середина находилась внутри круга, концентричного данному, но половинного радиуса (множество ). Тогда .

Причина неоднозначного решения задачи заключается в том, что в условии задачи не определено понятие проведения хорды наудачу. В результате этого задача геометрически может быть сведена к трём различным задачам. Таким образом, для бесконечного числа исходов нельзя дать объективного, не зависящего от способа расчёта определения вероятности.