§ 3. Непосредственный подсчёт вероятностей

3.1. Исследование пространства элементарных событий

Пример 1. Одна игральная кость. Разное число очков.

Пример 2. Две игральные кости. Разное число очков.

Пример 3. Две монеты.

Алгоритм решения задач

1) Построить пространство элементарных исходов.

2) Определить общее число всех равновозможных несовместных элементарных исходов .

3) Определить число исходов , благоприятных появлению события А.

4) Вычислить вероятность события А.

3.2. Подсчёт вероятностей без построения пространства элементарных событий

Пример 4. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр. Поэтому общее число возможных элементарных исходов 10. Эти исходы равновозможные (цифра набрана наудачу) и образуют полную группу (хотя бы одна цифра обязательно будет набрана), то есть . Нужная цифра всего одна. Поэтому для события А благоприятен всего один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятных событию А к числу всех элементарных исходов: .

Пример 5. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим через В событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько пар различных цифр, сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по 2, то есть . Поэтому общее число равновозможных элементарных исходов . Нужное сочетание двух цифр всего одно. Поэтому для события А благоприятен всего один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятных событию А к числу всех элементарных исходов: .

Пример 6. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей, ровно 4 стандартных.

Решение. Пусть событие А – среди 6 взятых деталей ровно 4 стандартных. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, то есть числу сочетаний из 10 элементов по 6 ( ). Подсчитаем число исходов, благоприятных событию А: 4 стандартные детали можно взять из 7 стандартных деталей способами. При этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными. Их можно взять из 10-7=3 нестандартных деталей способами. Следовательно, число благоприятных исходов . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятных событию А, к числу всех элементарных исходов:

.

Алгоритм решения задач

1) Определить общее число всех равновозможных несовместных элементарных исходов .

2) Определить число исходов , благоприятных появлению события А.

3) Вычислить вероятность события А.

§ 4. Элементы комбинаторики

Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов различных конечных множеств.

Определение 1. Пусть задана совокупность из элементов. Из этой совокупности определённым образом выбрали элементов. В этом случае говорят, что задана выборка длиной в элементов из элементов.

Выборки могут формироваться по-разному. Различия обусловлены следующими причинами:

1) допускается ли в выборках повторение элементов;

2) учитывается ли в выборке порядок следования элементов.

Определение 2. Перестановками без повторений называются выборки из элементов длиной в элементов ( ) без повторений с учётом порядка.

Формула для подсчета: .

Определение 3. Размещениями без повторений называются выборки из элементов длиной в элементов ( ) без повторений с учётом порядка.

Формула для подсчета: .

Определение 4. Сочетаниями без повторений называются выборки из элементов длиной в элементов ( ) без повторений и без учёта порядка.

Формула для подсчета: .

Определение 5. Пусть имеется элементов, из которых элементов принадлежит первому типу, – второму, и т. д., – -му типу, при этом , а элементы одного типа неразличимы между собой. Выборки из этих элементов длиной в элементов с повторениями и с учётом порядка называются перестановками с повторениями .

Формула для подсчета: .

Определение 6. Выборки из элементов длиной в элементов с повторениями и с учётом порядка называются размещениями с повторениями . Здесь возможно, что .

Формула для подсчета: .

Определение 7. Выборки из элементов длиной в элементов с повторениями и без учёта порядка называются сочетаниями с повторениями . Здесь возможно, что .

Формула для подсчета: .

Важную роль в комбинаторике играют правила сложения и умножения.

Правило умножения. Пусть необходимо выполнить одно за другим действий. Если первое действие можно выполнить способами, после чего второе действие можно выполнить способами и т. д. до -го действия, которое можно выполнить способами, то все действий можно выполнить способами.

Правило сложения. Пусть необходимо выполнить действий, причем никакие два из которых не могут производиться одновременно (действия попарно несовместны). Если первое действие можно выполнить способами, второе действие можно выполнить способами и т. д., -е действие можно выполнить способами, то хотя бы одно действие можно выполнить способами.

Правила сложения и умножения применимы и в том случае, когда выборку целесообразно разбить на подвыборки.

Алгоритм решения задачи

1) Определить длину исходной совокупности элементов .

2) Определить длину искомой выборки .

3) Выяснить, целесообразно ли искомую выборку разбивать на подвыборки, и каковы параметры этих подвыборок?

4) Выяснить, допускается ли в выборках (подвыборках) повторение элементов?

5) Выяснить, учитывается ли в выборке (подвыборке) порядок следования элементов?

6) Выяснить, как, зная число подвыборок, получить число искомых выборок (какое правило требуется использовать: сложения или умножения)?

7) Вычислить число подвыборок, а затем число искомых выборок.

Пример 1. Имеются 3 различные книги: А, В и С. Сколькими различными способами их можно расставить на полке?

Решение. Длина исходной совокупности элементов . Длина искомой выборки . Так как все книги различны, то повторение элементов не допускается. Так как книги требуется расставить на полке, то порядок следования элементов в выборке важен. Таким образом, искомые выборки представляют собой перестановки без повторений, тогда число искомых выборок . Следовательно, существует 6 способов расстановки книг.

Пример 2. Из трех различных книг А, В и С две отбирают на выставку. Сколько выставочных комплектов можно составить?

Решение. Длина исходной совокупности элементов . Длина искомой выборки . Так как все книги различны, то повторение элементов не допускается. Так как книги требуется отобрать на выставку, то важно, какие книги будут выбраны и неважно, в каком порядке отбирать книги, то есть порядок следования элементов в выборке неважен. Таким образом, искомые выборки представляют собой сочетания без повторений, тогда число искомых выборок . Следовательно, можно составить 3 выставочных комплекта.

Пример 3. Имеется 5 карточек с буквами A, B, C, D, E. Сколько различных «слов», содержащих не более трех букв, можно из них составить?

Решение. Длина исходной совокупности элементов . По условию задачи каждое «слово» содержит либо 1, либо 2, либо 3 буквы, то есть имеется 3 искомых подвыборки, длины которых , и . Так как все карточки различны, то повторение элементов в каждой подвыборке не допускается. Так как «слова» отличаются не только составом букв, но и порядком следования элементов, то в каждой подвыборке порядок следования элементов учитывается. Таким образом, искомые подвыборки представляют собой размещения без повторений. Вычислим число искомых подвыборок.

При «слов».

При «слов».

При «слов».

Так как «слово», составленное только из одной буквы не может содержать только две или только три буквы; «слово», составленное только из двух букв не может содержать только одну или только три буквы; «слово», составленное только из трех букв не может содержать только одну или только две буквы, то действия по составлению «слов» только из одной, только из двух и только из трех букв попарно несовместны. Поэтому для подсчета общего числа искомых выборок применяем правило сложения. Тогда число «слов», содержащих не более трех букв 5+20+60=85.