§ 11. Предельные теоремы теории вероятностей
11.1. Локальная предельная теорема
Задача прибл. вычисления и была решена А. де Муавром.
Локальная теорема
Муавра. Если
вероятность наступления некоторого
события А в n
независимых испытаниях постоянна и
равна p
(0<p<1),
то вероятность
того, что в этих испытаниях событие А
наступит ровно m
раз, удовлетворяет при
соотношению
равномерно для всех m,
для которых
находится в
каком-нибудь конечном интервале. Д-во.
[5, с. 78-80].
Замечание.
Тогда
(можно приближённо вычислить).
Аналогичную теорему можно сформулировать и доказать для полиномиального распределения.
Пример. Пример 2 предыдущего параграфа, 0,00206 (точные подсчёты 0,00197).
11.2. Интегральная предельная теорема
Интегральная
теорема Муавра-Лапласа.
Если µ есть число наступлений события
в n
независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность этого события равна
р,
причём 0<p<1,
то равномерно относительно а
и b
(
)имеет
место соотношение
.
Д-во. См.
[5, с. 85-89].
Замечание. Интегральная теорема Муавра-Лапласа является частным случаем интегральной предельной теоремы.
Пусть
(
)
означает число появлений событий
(
)
в n
последовательных испытаниях. В зависимости
от случая
могут принимать лишь значения 0, 1, 2, 3,
…, n,
причём так как в каждом испытании
возможны k
исходов и эти исходы несовместимы, то
должно иметь место равенство:
.
(1)
Будем рассматривать величины ( ) как прямоугольные координаты точки в k-мерном евклидовом пространстве.
При этом результаты
испытаний изобразятся точкой с
целочисленными координатами, не меньшими
нуля, не большими n;
в дальнейшем будем называть такие точки
целочисленными.
Равенство (1) показывает, что результаты
испытаний изобразятся не произвольными
целочисленными точками в гиперкубе
(
),
а лишь теми из них, которые находятся в
гиперплоскости (1).
Произведём
преобразование координат по формулам
(
,
).
Уравнение гиперплоскости (1) в новых
координатах перепишется в следующем
виде
.
(2)
Точки гиперплоскости (2), в которые перешли целочисленные точки гиперплоскости (1), будем также называть целочисленными.
Обозначим
вероятность того, что в результате n
испытаний числа
(
)
появления каждого из возможных исходов
окажутся такими, что точка с координатами
попадёт внутрь области G.
Тогда имеет место следующая теорема:
Теорема.
Если в схеме последовательных независимых
испытаний в каждом из испытаний возможны
k
исходов, причём вероятность каждого из
исходов не зависит от номера испытания
и отлична о 0 и от 1, то какова бы ни была
область G
гиперплоскости (2), для которой (k-1)
– мерный объём её границы равен нулю,
равномерно относительно G
имеет место соотношение
,
где
означает элемент объёма области
,
интеграл вычисляется по области G.
11.3. Приложения интегральной теоремы Муавра-Лапласа
1. Закон больших
чисел (неравенство Бернулли).
.
Неравенство Бернулли позволяет использовать построения теории вероятностей при решении многих задач естествознания и техники.