9.2. Формула полной вероятности

Теорема о полной вероятности. Предположим, что событие может осуществиться с одним и только с одним из несовместных событий , , …, , (гипотез). Тогда вероятность события можно определить по формуле:

. (5)

Доказательство. Предположим, что событие может осуществиться с одним и только с одним из несовместных событий , , …, , т.е. , где события и при несовместны. По теоремам сложения и умножения вероятностей имеем или

(5)

Формула (5) называется формулой полной вероятности.

Пример 6. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8; а вероятность второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из выбранного наудачу набора – стандартная.

Решение. Пусть событие – извлеченная деталь стандартна, событие – деталь извлечена из первого набора, событие – деталь извлечена из второго набора. Тогда событие А… . События несовместны. Тогда по формуле полной вероятности…

Так как деталь вынимают из наугад выбранного набора, то события и равновозможные, и их вероятности .

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь . Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь . Тогда искомая вероятность того, что взятая наудачу деталь из выбранного наудачу набора будет стандартной, по формуле полной вероятности равна .

Пример 7. Имеется 5 ящиков с шарами: 2 ящика состава Н₁ – по 2 белых шара и одному чёрному; 1 ящик состава Н₂ – 10 чёрных шаров; 2 ящика состава Н₃ – по 3 белых шара и одному чёрному. Наудачу выбирается ящик и из него наудачу вынимается шар. Чему равна вероятность того, что вынутый шар белый (событие А)?

Решение. Аналогично 17/30.

9.3. Формулы Байеса.

Теорема. Пусть выполняются условия теоремы о полной вероятности и имеет место (5). Тогда условная вероятность события в предположении, что событие уже произошло, определяется по формулам:

( ). (6)

Вероятности , вычисленные по формулам Байеса, называют вероятностями гипотез.

Доказательство. Согласно теореме умножения вероятностей имеем ( ):

.

Отсюда или ( ).

Замечание. Общая схема применения формул (6) такова. Пусть событие А может протекать в различных условиях, относительно характера которых может быть сделано n гипотез , , …, . По тем или иным причинам известны вероятности этих гипотез до испытания. Известно также, что гипотеза сообщает событию А вероятность . Произведён опыт, в котором событие А наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез . Формулы Байеса позволяют количественно решить этот вопрос. (Пристрелка).

Пример 8. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что её проверил первый контролер.

Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что деталь признана стандартной, гипотеза – деталь проверил первый контролер, гипотеза – деталь проверил второй контролер. По условию задачи имеем:

(вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру),

(вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру),

(вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером),

(вероятность того, что деталь будет признана стандартной вторым контролером).

Искомую вероятность того, что признанную стандартной деталь проверил первый контролер, найдём по формуле Байеса:

.

До испытания вероятность гипотезы равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, условная вероятность этой гипотезы изменилась и стала равной 0,59.

Пример 9. Решить для примера 7.