1) Предельный анализ и оптимизация прибыли, издержек и объема производства

Объем производства продукции, цена продукта и издержки (затраты на производство продукции) находятся в определенной функциональной зависимости друг от друга. Поэтому получение максимальной прибыли возможно при определенных соотношениях этих величин. При принятии решений, нацеленных на увеличение прибыли предприятия, необходимо учитывать предполагаемые величины предельного дохода и предельных издержек.

Предельный доход — это прирост выручки от реализации на единицу прироста количества производимого продукта.

Введем следующие условные обозначения:

Q - количество товара (продукта);

р - цена единицы товара;

р х Q - доход (выручка) от реализации товара;

С - издержки производства (затраты);

R - прибыль от реализации.

Тогда стремление получить максимум прибыли может быть представлено в формальном виде следующей функцией:

R = (pxQ)  C  max.

Применение предельного дохода к этой функции дает соотношение

dR _ d (р х Q) dC _ d (р х Q) dC --- = ------------  ----- = 0 или ----------- = -------

dQ dQ dQ dQ dQ

dC d (р х Q)

где ---- - предельные издержки; ----------- - предельный доход.

dQ dQ

Отсюда следует: чтобы прибыль была максимальна, необходимо равенство предельных издержек и предельных доходов. Это соотношение позволяет найти оптимальный размер объема производства при известных (или заданных) функциях спроса Р =  (Q) и издержек С = g (Q).

Пример анализа оптимальности объема производства по предприятию.(по таблице 3.10).

Анализ зависимости между ценой продукта и его количеством в динамике позволяет выбрать для функции спроса линейную форму зависимости вида

р = а₀ + а₁  Q.

По методу наименьших квадратов определяются неизвестные параметры а₀ и а₁ на основе составления и решения системы нормальных уравнений вида

n  а₀ + а₁   Q_i =  p_i

а₀   Q_i + а₁   Q_i ² =  p_i  Q_i

где n — число наблюдаемых лет;

p_i - цена i-й единицы продукта;

Q_i - количество i-й продукции в натуральном выражении.

Таблица 3.10 - Исходные данные для предельного анализа

Показатели	Базисный год	Годы
		1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
Производство продукции в натуральном выражении(Q), шт.	19ХХ	2002	2177	2417	2605	2695
Цена единицы продукта (р), руб.	5375	5506	5513	5066	4760	4764
Затраты (издержки произ- водства) по полной себе- стоимости (С), тыс. руб.	8342	8412	9650	9870	9944	10137
Выручка от реализации (р х Q), тыс. руб.	10611	11024	12008	12234	12401	12840
Прибыль (R). тыс. руб.	2269	2612	2353	2364	2457	2703

После проведения расчетов получим эмпирическую функцию спроса

р = 7651 — 1,076 х Q

Таблица 3.11 - Сравнительные данные объемов производства по результатам предельного анализа

Показатель	Фактически (5-й год)	Оптимум	Отклонения
Производство продукции в натуральном выражении (Q), шт.	2695	3554	+859
Цена единицы продукта (р), руб.	4764	3827	-937
Затраты (издержки) по полной себестоимости (С), тыс. руб.	10137	10296	+149
Выручка от реализации (р х Q), тыс. руб.	12840	13601	+761
Прибыль (R). тыс. руб.	2703	3315	+612

Анализ зависимости между издержками и количеством выпускаемой продукции в динамике позволяет для функции издержек выбрать также линейную форму связи вида

С = b₀ + b₁ х Q.

Неизвестные параметры b₀ и b₁ также находятся по методу наименьших квадратов на основе составления и решения системы нормальных уравнений вида

n  b₀ + b₁   Q_i =  C_i

b₀   Q_i + b₁   Q_i ² =  C_i  Q_i

где условные обозначения соответствуют принятым ранее. В окончательном виде имеем следующую эмпирическую функцию издержек:

С= 3887 + 2,082 х Q.

Теперь проведем расчеты предельного дохода и предельных издержек и, сравнивая их, найдем величину оптимального выпуска продукции:

P = 7651 - 1,076  Q; С = 3887 + 2,082  Q; р Q = 7651 х Q - 1,076  Q²

d (p  Q) dC

----------- = 7651- 2,152 х Q; ------- = 2,082; dQ dQ

7651 -2,152 х Q = 2,082, т.е. Q = 3554.

Оптимальный объем выпуска продукции составляет 3554 шт.

Зная размер выпуска, можно определить цену продукта, выручку, прибыль и издержки производства. Результаты расчетов представлены в таблице. В ней для сравнения приведены также фактические данные предприятия за 5-й год.

Применение предельного анализа показывает, что у предприятия имеются возможности увеличить прибыль на 612 тыс. руб. за счет увеличения объемов производства и реализации продукции.

При этом затраты предприятия возрастут всего на 149 тыс. руб., или на 1,46%. Оптимальная цена продукта составит 3827 руб., что ниже фактической цены на 937 руб., или на 19,7%. Следовательно, предприятие может в перспективе придерживаться стратегии, направленной на рост объемов выпуска и реализации продукции, однако при этом необходимо сохранить достигнутый уровень затрат на производство.