2.5 Количественные способы факторного анализа

Для выделения влияния факторов на изменение результативного показателя могут использоваться следующие способы: дифференцирование, индексный метод, метод цепных подстановок, методы абсолютных и относительных разниц, интегральный метод и др.

Способ дифференциального исчисления

При применении способа дифференциального исчисления предполагается, что общее приращение функции (результирующего показателя) различается на слагаемые, где значение каждого из них определяется как произведение соответствующей частной производной на приращение переменной, по которой вычислена данная производная.

Пусть задана функция z = f (x, у), тогда, если функция дифференцируема, ее приращение можно выразить

dz dz

 z =  x +  y +  =  z _х +  z _у + 

dx dy

где  z = (z₁ – z_о) - изменение функции;  x = (x₁ – x_о) - изменение первого фактора;  у = (y₁ – y_о) - изменение второго фактора;

 - ошибка вычислений (бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

  x² +  у² );

 z _х - влияние фактора х на изменение результирующего показателя z;

 z _у - влияние фактора у на изменение результирующего показателя z.

Пример: если имеется функция от двух аргументов

N = f (В, Ч)

где B и Ч - аргументы функции f, то дифференциал от нее записывается в виде

 N =  f (B, Ч) = f _B  B + f_Ч  Ч + 

где  N,  B,  Ч - приращения значения функции и ее аргументов; f _B , f_Ч - частные производные функции по ее аргументам;

• - ошибка вычислений, равная отклонению значения суммы полученных

произведений от точного значения

 =  B   Ч

Полученное выражение позволяет выделить в  N - изменении функции под влиянием двух факторов ( f _B  B - влияние первого фактора, f_Ч  Ч - влияние второго фактора) и  — ошибки вычислений, обусловленной их совместным воздействием.

В качестве примера дифференцирования выше рассмотрена функция N = f (В, Ч) отражающая зависимость N - выпуска продукции от В - производительности труда и Ч - численности работников,

где f _B  B - влияние изменения производительности труда (интенсивный фактор);

f_Ч  Ч - влияние изменения числа работников (экстенсивный фактор);

 - ошибка вычислений.

Индексный способ

Индексный способ основан на относительных показателях динамики, пространственных сравнений, выполнения плана, выражающих отношение фактического уровня анализируемого показателя в отчетном периоде к его уровню в базисном периоде.

Индекс в анализе (как и в статистике) – это относительная величина, выражающая соотношение уровней явлений. Для исчисления индекса необходимо наличие двух исходных величин – отчетной (та величина, которая сравнивается с другой) и базисной (величина, с которой производится сравнение).

Индексы могут быть индивидуальными, сводными и др. Индивидуальный индекс характеризует различия в данных, относящихся к единичному объекту анализа. Например:

q₁ p₁

i _q= q₀ - индекс выпуска продукции; i _p= p₀ - индекс цен на продукцию

Сводные индексы в отличие от индивидуальных дают динамику изменения сопоставляемых уровней по комплексу различных явлений. Сводный индекс можно исчислить только в том случае, когда в них введены веса-соизмерители индексируемых признаков. Веса – сведения о повторяемости индексируемых признаков или об их удельном весе в общей совокупности признаков.

Сводный индекс может быть исчислен двумя способами:

1. агрегатный индекс – индекс, полученный путем сопоставления общего объема значений индексируемого признака за базисный и отчетный период;

2. средний индекс – индекс, исчисленный как средняя мера изменения всего сложного явления в целом на основе индивидуальных индексов, характеризующих изменение отдельных элементов сложного явления.

Так, изучая зависимость объема выпуска продукции на предприятии от изменений численности работающих и производительности их труда, можно воспользоваться следующей системой взаимосвязанных индексов:

 В₁ Ч₁  В₀ Ч₁  В₁ Ч₁

^I _N ⁼  В₀ Ч₀ ⁼  В₀ Ч₀ ^  В₀ Ч₁ ^{= I} _Ч ^{ I} _В

где I _N - общий индекс изменения объема выпуска продукции;

I _Ч - индивидуальный (факторный) индекс изменения численности работающих;

I _В - факторный индекс изменения производительности труда работающих;

В₀, В₁ - среднегодовая выработка продукции на одного работающего соответственно в базисном и отчетном периодах;

Ч₀, Ч₁ - среднегодовая численность промышленно-производственного персонала соответственно в базисном и отчетном периодах.

Приведенные формулы показывают, что общее относительное изменение объема выпуска продукции образуется как произведение относительных изменений двух факторов: численности работающих и производительности их труда. Формулы отражают принятую в статистике практику построения факторных индексов, суть которой можно сформулировать следующим образом.

Если обобщающий экономический показатель представляет собой произведение количественного (объемного) и качественного показателей-факторов, то при определении влияния количественного фактора качественный показатель фиксируется на базисном уровне, а при определении влияния качественного фактора количественный показатель фиксируется на уровне отчетного периода.

Индексный способ позволяет провести разложение по факторам не только относительных, но и абсолютных отклонений обобщающего показателя.

В нашем примере величина абсолютного отклонения (прироста) обобщающего показателя — объема выпуска продукции предприятия равна:

 N =  В₁ Ч₁ -  В₀ Ч₀

Это отклонение образовалось под влиянием изменений численности работающих и производительности их труда. Чтобы определить, какая часть общего изменения объема выпуска продукции достигнута за счет изменения каждого из факторов в отдельности, необходимо при расчете влияния одного из них элиминировать влияние другого фактора.

В первом сомножителе элиминировано (устранено) влияние производительности труда, во втором — численности работающих, следовательно, прирост объема выпуска продукции за счет изменения численности работающих определяется как разность между числителем и знаменателем первого сомножителя:

 N (Ч) =  В₀ Ч₁ -  В₀ Ч₀

Прирост объема выпуска продукции за счет изменения производительности труда работающих определяется аналогично по второму сомножителю:

 N (В) =  В₁ Ч₁ -  В₀ Ч₁

Изложенный принцип разложения абсолютного прироста (отклонения) обобщающего показателя по факторам пригоден для случая, когда число факторов равно двум (один из них количественный, другой качественный), а анализируемый показатель представлен как их произведение.

Теория индексов не дает общего метода разложения абсолютных отклонений обобщающего показателя по факторам при числе факторов более двух.