5.7.3. Упрощение переключательных схем
Каждой переключательной схеме можно поставить в соответствие сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда схема проводит ток. Это сложное высказывание можно исследовать методами математической логики. Если такое сложное высказывание удается упростить, то и соответствующая схема допускает аналогичное упрощение.
Пример
1.
Составим формулу логической функции
для следующей схемы. П
ереключатели
А
и В
соединены параллельно, что соответствует
дизъюнкции соответствующих высказываний:
A
v
В.
Далее следует последовательное соединение
с переключателем
С:
(А v В) & С. Рассмотренный участок цепи параллельно соединяется с переключателем D: (А v В) & С v D.
Окончательный результат: F(A,B,C,D) = (А v В) & C v D.
Анализ переключательной схемы состоит в определении всех возможных условий, при которых соответствующая электрическая цепь будет пропускать электрический ток. Это удобно делать с помощью соответствующей логической функции.
5.7.4. Алгоритм анализа переключательной схемы
1. Записать логическую формулу, соответствующую данной переключательной схеме.
2. По полученной формуле построить таблицу истинности.
3. Выбрать в таблице истинности наборы (строки), где функция принимает единичные значения. Единицы в рассматриваемых наборах соответствуют замкнутым переключателям, а нули — разомкнутым.
Пример 2. Проанализируем переключательную схему из предыдущего примера.
1.
2.
((A |
|
B) |
& |
C) |
|
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3. Электрическая цепь пропускает ток, если состояния переключателей соответствуют наборам: 0001, 0011, 0101, 0110, 0111, 1001, 1010, 1011, 1101, 1110, 1111.
Синтез переключательной схемы — это разработка схемы, условия работы которой заданы таблицей истинности или словесным описанием.
Пример. Построим схему электрической цепи, включающей переключатели А, В, С, такую, что цепь замыкается лишь в том случае, если замкнуты все переключатели или ни один из этих переключателей.
Решение. Оформим в виде таблицы все возможные соположения переключателей А, В, С и в отдельном столбце отметим требуемое состояние для каждого набора состояний переключателей:
A |
B |
C |
F |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Построим СДНФ: F(A,B,C)=A & B & C V A & B & С. Этой логической функции соответствует переключательная схема:
Упрощение (минимизация) переключательной схемы сводится к упрощению соответствующей ей формулы на основании законов алгебры логики.
Пример. Упростить схему:
Решение. Исходная схема имеет девять переключателей. Выпишем логическую формулу, соответствующую данной схеме и упростим ее.
=
Рассматриваемая схема может быть заменена более простой, содержащей только три включателя
