5.6. Минимизация логических функций
Используя законы алгебры логики, можно упрощать сложные выражения, определяющие логические функции.
Преобразование логической функции с целью упрощения ее аналитического представления называется минимизацией.
Пример. Пусть некоторая логическая функция представлена в СДНФ.
Элементарные конъюнкции называются соседними, если они отличаются только одной переменной. Применение к соседним конъюнкциям правила склеивания понижает их ранг на единицу.
Первая и вторая, а также третья и четвертая конъюнкции — соседние. В результате их склеивания получим:
Минимизация функций алгебры логики (ФАЛ) в более общем смысле — это процедура нахождения наиболее простого представления ФАЛ в виде суперпозиции функций, составляющих функционально полную систему, при одновременной оптимизации ее технической реализации по некоторым критериям в условиях ряда ограничений.
Критериями оптимизации могут быть объем оборудования (количество вентилей, корпусов), габариты, вес, энергопотребление, стоимость, быстродействие, надежность.
В качестве ограничений могут выступать допустимые к использованию системы элементов, число элементов в корпусе, коэффициенты объединения по входу и разветвления по выходу логических элементов, необходимость реализации системы ФАЛ, а также ряд перечисленных выше критериев оптимизации.
Решение задачи минимизации ФАЛ в полном объеме является трудной проблемой хотя бы потому, что ряд критериев оптимизации находятся в противоречивом отношении друг к другу, например, одновременное снижение энергопотребления и повышение быстродействия.
На практике обычно решается задача оптимизации по нескольким или даже одному из критериев. Наиболее часто это делается по минимуму необходимого числа базовых логических элементов И, ИЛИ, НЕ, так как при этом в большинстве случаев удовлетворяются требования получения минимальных габаритов, веса, энергопотребления, стоимости, а также повышения быстродействия и надежности.
Иногда ограничиваются еще более простой задачей представления ФАЛ в дизъюнктивной или конъюнктивной форме, содержащей наименьшее возможное число букв, когда, например, для дизъюнктивных форм, в выражении присутствует как можно меньше слагаемых, являющихся элементарными произведениями, которые в свою очередь содержат как можно меньше сомножителей. Такую задачу принято называть канонической задачей минимизации ФАЛ.
Существует несколько методов минимизации, например, расчетный метод и табличный метод минимизации ФАЛ, основанный на использовании карт, впервые предложенных Вейтчем и модернизированных Карно.
5.7. Алгебра переключательных схем
Долгое время алгебра логики была известна достаточно «узкому» классу специалистов. Прошло почти 100 лет, прежде чем в 1938 году выдающийся американский математик и инженер Клод Шеннон обнаружил, что алгебра логики применима для описания самых разнообразных процессов. Например, 0 и 1 могут кодировать включенные и выключенные переключатели, высокое и низкое напряжение, годную и бракованную продукцию и т. д.
Прежде всего алгебра логики была использована для преобразования релейно-контактных и электронно-ламповых схем. Отвлекаясь от физической природы этих схем, будем называть их переключательными. Другими словами, под переключательной схемой мы будем понимать схематическое изображение какого-либо устройства, содержащего только двухпозиционные переключатели, т. е. переключатели, которые могут находиться только в двух состояниях: в замкнутом (ток проходит) и в разомкнутом (ток не проходит).