9.5.2. Асимптотические формулы Бернулли. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона

В практических задачах часто приходится вычислять вероятности различных событий, связанных с числом успехов в n испытаниях при больших значениях n. В этих случаях вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Трудности возрастают, когда приходится суммировать вероятности . К суммированию сводится вычисление вероятностей событий вида k  x l, как, например, в такой задаче:

Проводится 70 испытаний по схеме Бернулли с вероятностью появления события А в одном испытании, равной 0,4. Найти вероятность того, что событие А произойдет от 25 до 35 раз, то есть найти P_n(25 x  35).

В отдельных случаях при больших n удается заменить формулу Бернулли приближенными формулами. Такие формулы, которые получаются при условии, п  называются асимптотическими.

Если n достаточно велико, а p – величина очень малая, причём произведение np – тоже малая величина, для формулы Бернулли имеет место приближенная (асимптотическая) формула

(9.5.1)

Здесь  = np (– греческая буква "лямбда"). Эта формула называется формулой Пуассона. По формуле Пуассона вычисляются вероятности числа появлений очень редких событий в массовых испытаниях.

Чтобы проводить расчёты по формуле Пуассона, нужна либо таблица значений функции е^х, либо калькулятор или компьютер.

Задача. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В течение часа любой абонент независимо от остальных может сделать вызов с вероятностью 0,005. Требуется найти вероятность того, что в течение часа было не более 7 вызовов.

Здесь  = np = 5. Пусть x – число вызовов. Нас интересуют значения x, равные

Для решения этой задачи можно воспользоваться стандартной функцией табличного процессора Excel. Среди статистических функций нужно выбрать функцию, называющуюся ПУАССОН. В строку “х” вводится значение аргумента х, в строку “среднее” вводится значение . Если в строку “интегральный ” ввести 0, будет вычислено значение , если в эту строку ввести 1, то будет вычислена вероятность .

9.5.3. Локальная и интегральная формулы Лапласа

Если n достаточно велико, p не сильно отличается от 0,5, имеет место формула Муавра-Лапласа, иногда называемая локальной формулой Лапласа.

, где

Из формулы видно, что одинаковые отклонения от величины np вправо и влево здесь имеют одинаковые вероятности. В расчётах по формуле Бернулли это имеет место лишь при p=0,5.

Чтобы определить вероятность того, что в 50 испытаниях по схеме Бернулли при p=0,45 событие А наступило 30 раз, нужно воспользоваться таблицей значений функции . В учебниках, как правило, приводятся таблицы значений так называемой "локальной" функции Лапласа.

Можно также воспользоваться стандартной функцией табличного процессора Excel. Для этого следует выбрать из статистических функций функцию НОРМРАСП, в строку “х” ввести вычисленное значение t, положить среднюю равной 0, стандартное отклонение равным 1, а в строку “интегральный” ввести 0. Останется поделить результат на , чтобы получит искомую вероятность. В предложенной задаче t  2,13, y(t)  0.041, и, наконец, искомая вероятность приблизительно равна 0,011.

Если n достаточно велико, а p не сильно отличается от 0,5, имеет место интегральная формула Лапласа:

(9.5.2)

Здесь , , — интеграл Лапласа, значения которого определяются из таблиц.

Для вычислений используются следующие свойства интеграла Лапласа

При t=3,5 , и так как – монотонно возрастающая функция, в практических расчетах при можно принимать .

Заметим, что вычислений можно использовать стандартную функцию Excel. Для этого нужно среди статистических функций выделить функцию НОРМРАСП, задать значение аргумента (t =  или t = ), положить среднюю равной 0, стандартное отклонение равным 1, а в строку “интегральный” ввести 1. После этого будет вычислено значение функции Лапласа ^*(t)

Искомая вероятность будет равна ^*() – ^*().

Задача. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное 3, выпадает не менее 280 и не более 294 раз?

Здесь n = 800, р = 1/3, q = 2/3.