1.1.2. Ранг матрицы

Рангом матрицы А размерности т х п называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Если ранг матрицы A равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля ми­нор порядка r , но всякий минор порядка большего, чем r, равен 0. Ранг матрицы обозначается r(А).

Свойства ранга матрицы А размерности т п

1) 0 ≤ r ≤ rnin(m,n);

2) r =0 тогда и только тогда, когда матрица нулевая;

3) для квадратной матрицы n-го порядка r=n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная;

4) ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной матрицы;

5) ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть (дописать) нулевую строку (столбец);

6) ранг матрицы не изменится, если к элементам строки матрицы при­бавить элементы другой строки матрицы, предварительно умноженные на некоторое число;

7) ранг матрицы не изменится, если переставить любые строки (столбцы) матрицы.

Пример 1.1.9. Найти ранг матрицы А

RgA=2 т.к. имеется отличный от нуля определитель второго порядка,

н апример

1.1.3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Студент должен уметь решать системы линейных алгебраических уравнений (в дальнейшем СЛАУ)

1) по формулам Крамера и матричным методом (в случае, когда матри­ца А системы невырожденная);

2) произвольные СЛАУ с использованием теоремы Кронекера - Капелли методом Гаусса.

Рассмотрим примеры на применение этих методов.

1) Предположим СЛАУ имеет невырожденную матрицу порядка п.

a ₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂

... ... ... ...

a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = b_n

П равило Крамера. Если главный определитель СЛАУ отличен от нуля (∆≠O), то СЛАУ имеет единственное решение, которое находится по формулам

М атричный метод. Если матрица СЛАУ невырожденная, то решение СЛАУ может быть найдено по формуле

X = A^-1B (1.1.8)

где матрица А^-1 вычисляется по формуле (1.1.6), либо методом эле­ментарных преобразований.

Пример 1.1.10. Решить СЛАУ

а ) по формулам Крамера;

б) методом обратной матрицы

Запишем матрицу системы А, матрицу-столбец неизвестных X и матрицу-столбец свободных членoв Х :

б ) Воспользуемся формулой Х =А^-1В, где матрица A^-1 вычислена в при­мере 1.1.9.

2 ) Предположим, что матрица СЛАУ имеет размерность m x n. В этом случае СЛАУ имеет вид

a ₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n=b₂

... ... ... ...

a_m1x₁+a_m2x₂+...+a_mnx_n=b_m __

Запишем расширенную матрицу системы А.

Т еорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы.

Для решения произвольных слау применяется метод Гаусса. Сущ­ность метода состоит в том, что расширенная матрица слау приводит­ся к ступенчатому виду. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Рассмотрим квадратную систему

. (1.1.9)

У этой системы коэффициент a₁₁ отличен от нуля. Если бы это условие не выполнялось, то чтобы его получить, нужно было бы переставить местами уравнения, поставив первым то уравнение, у которого коэффициент при x₁ не равен нулю.

Проведем следующие преобразования системы:

1) поскольку a₁₁0, первое уравнение оставим без изменений;

2) вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;

3) вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на 3;

4) вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

Полученная новая система эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x₁ (это и являлось целью преобразований 1 – 4):

. (1.1.10)

Можно доказать, что замена любого уравнения системы новым, получающимся прибавлением к данному уравнению любого другого уравнения системы, умноженного на любое число, является эквивалентным преобразованием системы.

Для приведенного преобразования и для всех дальнейших преобразований не следует целиком переписывать всю систему, как это только что сделано. Исходную систему можно представить в виде матрицы

. (1.1.11)

Матрица (1.1.11) называется расширенной матрицей для исходной системы уравнений. Если из расширенной матрицы удалить столбец свободных членов, то получится матрица коэффициентов системы, которую иногда называют просто матрицей системы.

Каждую систему m линейных уравнений с n неизвестными можно представить в виде расширенной матрицы, содержащей m строк и n+1 столбцов. Каждую матрицу можно считать расширенной матрицей или матрицей коэффициентов некоторой системы линейных уравнений. Системе (1.1.10) соответствует расширенная матрица

.

Преобразуем эту матрицу следующим образом:

1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент a₂₂ не равен нулю;

2) вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей;

3) четвертую строку заменим разностью между удвоенной второй строкой и умноженной на 5 четвертой.

В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестная x₁ исключена из всех уравнений, кроме первого, а неизвестная x₂ — из всех уравнений кроме первого и второго:

.

Теперь исключим неизвестную x₃ из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:

1) первые три строки оставим без изменения, так как a₃₃  0;

2) четвертую строку заменим разностью между третьей, умноженной на 39, и четвертой:

.

Полученная матрица соответствует системе

. (1.1.12)

Из последнего уравнения этой системы получаем x₄ = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x₃ = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x₂ = 1, а из первого — x₁ = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x₄, затем x₃ и т. д.).

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования:

1) перемена местами двух строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

Если матрица A является расширенной матрицей некоторой системы, и путем ряда элементарных преобразований матрица A переводится в матрицу B, являющуюся расширенной матрицей некоторой другой системы, то эти системы эквивалентны.

Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей. Матрица коэффициентов системы (1.1.12) – треугольная матрица.

Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна и определенна.

Пример 1.1.11. Решить систему

x ₁+7x₂+3x₃+2x₄=6

2x₁+5x₂+2x₃+3x₄=4

7x₁+4x₂+x₃+9x₄=2

В этой системе m=3 - количество уравнений; n=4 - количество неиз­вестных.

Запишем расширенную матрицу системы А и преобразуем ее к сту­пенчатому виду

_

RgA=2, rgA=2. По теореме Кронекера-Капелли СЛАУ совместна. Укороченная СЛАУ имеет вид:

x ₁+7x₂+3x₃+2x₄=6

9x₂+4x₃+x₄=8

В качестве базисных неизвестных выберем неизвестные х₁ и x₂, а не­известные, x₃, x₄ примем за свободные, полагая x₃=C₁, x₄=C₂. Тогда СЛАУ может быть записана в виде

x ₁+7x₂=6-3C₁-2C₂

9x₂=8-4C₁-C₂

x₃=C₁

x₄=C₂

Откуда находим

и ли окончательно получим

П ример 1.1.12. Решить систему

x ₁+2x₂-3x₃+x₄=-4

2x₁-x₂+x_3-x₄=2

-x₁+3x₂-x₃+3x₄=0

2x₁+4x₂-3x₃ +2x₄=3

Система линейных алгебраических уравнений несовместна.

Замечание. Однородные СЛАУ всегда совместны, т.к. ранги расширен­ной матрицы системы и матрицы системы совпадают.