1.9.5. Вычитание и деление комплексных чисел

Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел Z₁ и Z₂ существует, и притом только одно, число Z, такое, что:

Z + Z₂=Z₁

Если к обеим частям равенства прибавить (–Z₂) противоположное числу Z₂:

Z+Z₂+(–Z₂)=Z₁+(–Z₂), откуда

Z = Z₁ – Z₂

Число Z=Z₁+Z₂ называют разностью чисел Z₁ и Z₂.

Деление вводится как операция, обратная умножению:

ZZ₂=Z₁

Разделив обе части на Z₂ получим:

Z=

Из этого уравнения видно, что Z₂ 0

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Рис. 1.9.4

Разности Z₂ – Z₁ комплексных чисел Z₁ и Z₂, соответствует разность векторов, соответствующих числам Z₁ и Z₂. Модуль разности двух комплексных чисел Z₂ и Z₁ по определению модуля есть длина вектора Z₂ – Z₁. Построим этот вектор, как сумму векторов Z₂ и (–Z₁) (рис.1.9.4). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехом использовать простые геометрические факты.

Пример 2: Даны комплексные числа Z₁= 4 + 5·i и Z₂= 3 + 4·i. Найти разность Z₂ – Z₁ и частное

Z₂ – Z₁ = (3 + 4·i) – (4 + 5·i) = –1 – i

= =

1.9.6. Тригонометрическая форма комплексного числа

Рис.1.9.5

Запись комплексного числа Z в виде A+B·i называется алгебраической формой комплексного числа. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел.

Рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B·i выражаются через его модуль = r и аргумент  следующим образом:

A= r·cos ; B= r·sin.

Число Z можно записать так:

Z= r·cos+ i· ·sin = r·(cos + i·sin)

Z = r·(cos + i·sin) (1.9.2)

Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа.

r = – модуль комплексного числа.

Число  называют аргументом комплексного числа.

Аргументом комплексного числа Z 0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке.

Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случае число задается только своим модулем.

Как уже говорилось выше = r = , равенство (1.9.2) можно записать в виде

A+B·i= ·cos + i· ·sin, откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим:

cos= ,sin= (1.9.3)

Если sin поделить на cos получим:

tg= (1.9.4)

Эту формулу удобней использовать для нахождения аргумента , чем формулы (1.9.3). Однако не все значения , удовлетворяющие равенству (1.9.4), являются аргументами числа A+B·i . Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, в какой четверти расположена точка A+B·i.