- •Часть 1
- •Тема 1.9. Комплексные числа………………………………………………….…61
- •Список использованной и рекомендуемой литературы:
- •Раздел 1. Элементы теории множеств, векторной алгебры и аналитической геометрии. Вещественные числа
- •Тема 1.1. Элементы линейной алгебры
- •Матрицы и определители. Линейные операции над матрицами
- •1.1.2. Ранг матрицы
- •1.1.3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Для решения произвольных слау применяется метод Гаусса. Сущность метода состоит в том, что расширенная матрица слау приводится к ступенчатому виду. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 1.2. Элементы векторной алгебры
- •1.2.1. Векторы, операции над векторами. Декартов базис
- •1.2.2. Скалярное произведение векторов
- •1.2.3. Векторное произведение векторов
- •1.2.4. Смешанное произведение трех векторов
- •Тема 1.3. Прямая и плоскость
- •1.3.1. Различные виды уравнения плоскости
- •1.3.2. Различные виды уравнения прямой в пространстве
- •1.3.3. Задачи, относящиеся к плоскостям
- •1.3.4. Задачи, относящиеся к прямой в пространстве
- •1.3.5. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •1.3.6. Уравнение прямой линии на плоскости
- •Вопросы для самопроверки:
- •Тема 1.4. Преобразование координат на плоскости. Элементарная теория линий второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 1.5. Некоторые сведения о линейных векторных пространствах. Собственные числа и собственные векторы
- •1.5.1. Векторные пространства и их преобразования
- •1.5.2. Собственные числа и собственные векторы матрицы линейного преобразования (оператора)
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 1. 6 . Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду уравнений линии и поверхности второго порядка
- •1.6.1. Уравнения центральных поверхностей второго порядка
- •1.6.2. Нецентральные поверхности
- •1.6.3. Плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 1.7. Множества. Вещественные числа
- •1.7.1. Алгебраические свойства вещественных чисел
- •1.7.2. Отношение порядка На множестве вещественных чисел вводится отношение порядка , т.Е. , которое удовлетворяет следующим аксиомам:
- •1.7.3. Представление (модель) вещественного числа
- •1.7.4. Решение простейших неравенств с модулем
- •1.7.5. Открытые и замкнутые множества
- •1.7.6. Принципы существования предельной точки (Вейерштрасс)
- •Тема 1.8. Элементы теории пределов. Бесконечные функции
- •1.8.1. Определение предела в терминах окресностей
- •1.8.2. Общие свойства конечного предела
- •1.8.3. Бесконечно малые функции и их свойства
- •1.8.4. Представление функции, имеющей конечный предел
- •1.8.5. Свойства функций имеющих конечный предел в точке а
- •1.8.6. Бесконечно большие функции и их свойства
- •1.8.7. Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •1.8.9. Критерии существования предела последовательности
- •Тема 1.9. Комплексные числа
- •1.9.1. Понятие комплексного числа
- •1.9.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа
- •1.9.3. Модуль комплексного числа
- •1.9.4. Сложение и умножение комплексных чисел
- •1.9.5. Вычитание и деление комплексных чисел
- •1.9.6. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •1.9.7. Свойства модуля и аргумента комплексного числа
- •1.9.8. Возведение в степень и извлечение корня
- •1.9.9. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным
- •Раздел 2. Дифференциальное и интегральное исчисление
- •Тема 2.1. Понятия о функции одной переменной. Предел и непрерывность функции
- •2.1.1. Свойства предела функции. Односторонние пределы
- •2.1.2. «Замечательные» пределы. Применение пределов в экономике
- •Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции
- •Тема 2.3. Дифференциал функции
- •Тема 2.4. Производные высших порядков
- •Тема 2.5. Исследование функции. Формула Лагранжа
- •2.5.1. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •2.5.2. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции
- •2.5.3. Функция полезности
- •Раздел 3. Функция нескольких переменных Тема 3.1. Основные понятия функции нескольких переменных
- •Тема 3.2. Частные производные
- •Тема 3.3. Дифференциал функции двух переменных
- •Тема 3.4. Производная по направлению
- •Тема 3.5. Экстремум функции двух переменных
- •Упражнения
- •Раздел 4. Интегральное исчисление функции одной переменной Тема 4.1.Первообразная. Неопределенный интеграл
- •Тема 4.2.Методы интегрирования
- •4.2.1. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •4.2.2. Формула интегрирования по частям
- •Интегрированне рациональной дроби
- •Интегрирование простейших дробей
- •Интегрирование выражений содержащих тригонометрические функции
- •4.2.6. Интегрирование иррациональных выражений
- •Тема 4.3. Определенный интеграл
- •4.3.1. Свойства и геометрический смысл определенного интеграла
- •4.3.2. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница
- •4.3.3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
- •Упражнения
- •4.3.4. Вычисление площадей плоских фигур
- •4.3.5. Определение длины кривой. Дифференциал кривой
- •Раздел 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения Тема 5.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •5.1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •5.1.2. Линейные дифференциальные уравнения
- •5.1.3. Динамическая модель устойчивости рынка Вальраса
- •5.1.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами
- •Упражнения
- •Раздел 6. Ряды и интеграл Фурье Основные сведения
- •Тема 6.1. Числовые ряды
- •6.1.1. Условие сходимости положительного числового ряда
- •Тема 6.2. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье
- •6.2.1.Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье
- •6.2.2. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •6.2.3. Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций
- •Тема 6.3. Комплексная форма ряда Фурье. Задача о колебании струны
- •Задача о колебании струны
- •Тема 6.4. Интеграл Фурье
- •6.4.1. Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
- •6.4.2. Комплексная форма интеграла Фурье
- •6.4.3. Формулы дискретного преобразования Фурье
- •Раздел 7. Представление функции интегралом Фурье
- •Тема 7.1. Проверка условий представимости
- •7.1.1. Представление функции интегралом Фурье
- •7.1.2. Интеграл Фурье в комплексной форме
- •Тема 7.2. Представление функции полиномом Лежандра
- •7.2.1. Основные сведения
- •7.2.2. Преобразование функции
- •7.2.3. Вычисление коэффициентов ряда
- •Раздел 8. Дискретные преобразования Фурье
- •Тема 8.1. Прямое преобразование
- •Тема 8.2. Обратное преобразование
- •Раздел 9. Элементы теории вероятностей Тема 9.1. Комбинаторные формулы
- •Тема 9.2. Случайный эксперимент, элементарные исходы, события. Диаграммы Венна
- •Тема 9.3. Вероятностное пространство. Случай конечного или счетного числа исходов
- •9.3.1. Классическое определение вероятности
- •9.3.2. Статистическое определение вероятности
- •9.3.3. Непрерывное вероятностное пространство
- •9.3.4. Геометрическая вероятность
- •9.3.5. Формулы сложения вероятностей
- •9.3.6. Условная вероятность. Независимые события. Умножение вероятностей
- •Тема 9.4. Формула полной вероятности
- •9.4.1. Формула Байеса
- •9.4.2. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
- •Тема 9.5. Законы распределения случайной величины
- •9.5.1. Биноминальное распределение случайной величины
- •9.5.2. Асимптотические формулы Бернулли. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона
- •9.5.3. Локальная и интегральная формулы Лапласа
- •Тема 9.6. Дискретные случайные величины
- •9.6.1. Зависимость и независимость двух случайных величин
- •9.6.2. Математическое ожидание случайной величины
- •9.6.3. Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии:
- •Тема 9.7. Непрерывные случайные величины. Плотность и функция распределения случаной величины
- •9.7.1. Математическое ожидание случайной величины
- •9.7.2. Дисперсия случайной величины
- •9.7.3. Нормальное распределение
- •Раздел 10. Элементы математической статистики Тема 10.1. Задачи математической статистики
- •10.1.1. Выборочный метод. Генеральная совокупность
- •10.1.2. Вариационный ряд
- •10.1.3. Точечные оценки параметров генеральной совокупности
- •Тема 10.2. Интервальные оценки
- •10.2.1. Понятие интервальной оценки
- •10.2.2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •10.2.3. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •10.2.4. Доверительный интервал дисперсии нормального распределения
- •Тема 10.3. Задачи статистической проверки гипотез
- •10.3.1. Основные понятия и статистическая проверка гипотез
- •10.3.2. Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии
- •10.3.3. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
- •10.3.4. Проверка статистической значимости выборочного коэффициента корреляции
- •Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат
- •Данные распределения среднемесячной заработной платы:
Тема 1.9. Комплексные числа………………………………………………….…61
Понятие комплексного числа………………………………………….62
Геометрическая интерпретация комплексного числа………………..63
Модуль комплексного числа…………………………………………..63
Сложение и умножение комплексных чисел…………………………64
Вычитание и деление комплексных чисел……………………………65
Тригонометрическая форма комплексного числа……………………66
Свойства модуля и аргумента комплексного числа………………….67
Возведение в степень и извлечение корня……………………………69
Квадратное уравнение с комплексным неизвестным………………..70
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной………72
Тема 2.1. Понятие о функции одной переменной. Предел и непрерывность
Функции…………………………………………………………………72
Свойства предела функции. Односторонние пределы………………75
«Замечательные» пределы. Применение пределов в экономике……77
Тема 2.2. Производная функции………………………………………………….79
Тема 2.3. Дифференциал функции……………………………………………….81
Тема 2.4. Производные высших порядков………………………………………83
Тема 2.5. Исследование функции. Формула Лагранжа………………………....84
Необходимые и достаточные условия экстремума функции………..85
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции………………...86
Функции полезности…………………………………………………...88
Раздел 3. Функция нескольких переменных…………………………………….89
Тема 3.1. Основные понятия функции нескольких переменных………………89
Тема 3.2. Частные производные………………………………………………….91
Тема 3.3. Дифференциал функции двух переменных…………………………..93
Тема 3.4. Производная по направлению………………………………………....95
Тема 3.5. Экстремум функции двух переменных…………………………….....98
Раздел 4. Интегральное исчисление функции одной переменной……………100
Тема 4.1. Первообразная. Неопределенный интеграл…………………………100
Тема 4.2. Методы интегрирования……………………………………………...102 4.2.1. Замена переменной в неопределенном интеграле…………………..102
Формула интегрирования по частям………………………………...103
Интегрирование рациональной дроби………………………………105
Интегрирование простейших дробей………………………………..106
Интегрирование выражений содержащих тригонометрические
Функции……………………………………………………………….108
Интегрирование иррациональных выражений……………………..109
Тема 4.3. Определенный интеграл……………………………………………...111 4.3.1. Свойства и геометрический смысл определенного интеграла…….111
Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула
Ньютона-Лейбница…………………………………………………....114
Несобственные интегралы с бесконечными пределами……………117
Вычисление площадей плоских фигур………………………………118
Определение длины кривой. Дифференциал кривой………………119
Раздел 5. Дифференциальные уравнения………………………………………122
Тема 5.1. Дифференциальные уравнения первого порядка…………………...122
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными..123
Линейные дифференциальные уравнения…………………………..125
Динамическая модель устойчивости рынка Вальраса……………...127
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с
переменными коэффициентами……………………………………..128
Раздел 6. Ряды и интеграл Фурье………………………………………….……132
Тема 6.1. Числовые ряды……………………………………………………...…132
Условие сходимости положительного числового ряда………….…132
Обобщенные гармонические ряды или ряды Дирихле……………..133
Тема 6.2. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье…………………………….….135
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье……...136
Ряды Фурье для четных и нечетных функций………………………137
Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций…………….138
Тема 6.3. Комплексная форма ряда Фурье. Задача о колебании струны……..139
Тема 6.4. Интеграл Фурье………………………………………………………..142
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции…………………..143
Комплексная форма интеграла Фурье……………………………….144
Формулы дискретного преобразования Фурье………………….…..144
Раздел 7. Представление функции интегралом Фурье…………………….…..145
Тема 7.1. Проверка условий представимости……………………………….….145
Представление функции интегралом Фурье………………………...145
Интеграл Фурье в комплексной форме……………………………...146
Тема 7.2. Представление функции полиномом Лежандра…………………….147
Основные сведения…………………………………………………...147
Преобразование функции…………………………………………….147
Вычисление коэффициентов ряда…………………………………...148
Раздел 8. Дискретные преобразования Фурье………………………………....152
Тема 8.1. Прямое преобразование……………………………………………...152
Тема 8.2. Обратное преобразование…………………………………………....154
Раздел 9. Элементы теории вероятностей……………………………………..156
Тема 9.1. Комбинаторные формулы……………………………………………156
Тема 9.2. Случайный эксперимент, элементарные исходы, события.
Диаграммы Венна…………………………………………………….160
Тема 9.3. Вероятностное пространство. Случай конечного или счетного
числа исходов…………………………………………………………164
Классическое определение вероятности……………………………165
Статистическое определение вероятности………………………….166
Непрерывное вероятностное пространство…………………….…...168
Геометрическая вероятность…………………………………………168
Формулы сложения вероятностей…………………………………...169
Условная вероятность. Независимые события. Умножение
вероятностей…………………………………………………………..170
Тема 9.4. Формула полной вероятности…………………………………….….172
Формула Байеса………………………………………………………174
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли…………175
Тема 9.5. Законы распределения случайной величины……………………….178
Биноминальное распределение случайной величины……………...178
Асимптотические формулы Бернулли. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона………………………………...181
Локальная и интегральная формулы Лапласа………………………182
Тема 9.6. Дискретные случайные величины…………………………………...184
Зависимость и независимость двух случайных величин…………..185
Математическое ожидание случайной величины…………………..188
Дисперсия случайной величины……………………………………..191
Тема 9.7. Непрерывные случайные величины. Плотность и функция распределения случайной величины………………………………...193
Математическое ожидание случайной величины…………………..198
Дисперсия случайной величины…………………………………….199
Нормальное распределение………………………………………….201
Раздел 10. Элементы математической статистики……………………………...203
Тема 10.1. Задачи математической статистики………………………………….203
10.1.1.Выборочный метод. Генеральная совокупность…………………...204
10.1.2.Вариационный ряд……………………………………………………205
10.1.3.Точечные оценки параметров генеральной совокупности………...206
Тема 10.2. Интервальные оценки………………………………………………...210
10.2.1.Понятие интервальной оценки………………………………………210
10.2.2.Доверительный интервал для математического ожидания
нормального распределения при известной дисперсии……………211
10.2.3.Доверительный интервал для математического ожидания
нормального распределения при неизвестной дисперсии…………212
10.2.4.Доверительный интервал дисперсии нормального распределения.214
Тема 10.3. Задачи статистической проверки гипотез…………………………...215
10.3.1.Основные понятия и статистическая проверка гипотез……………215
10.3.2.Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании
нормального распределения при известной дисперсии……………219
10.3.3.Проверка гипотезы о равенстве дисперсий…………………………221
10.3.4.Проверка статистической значимости выборочного
коэффициента корреляции…………………………………………...222
Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат…………………..223