1.7.4. Решение простейших неравенств с модулем

Эквивалентность неравенств:

1. 

2. 

геометрический смысл:

1. 

2. 

3. 

1.7.5. Открытые и замкнутые множества

Множество - называется открытым, если для любой точки этого множества найдется такая , которая целиком содержится в этом множестве.

, точки, обладающие этими свойствами, называются внутренними точками.

(a,b) – открытое множество: Точка x X в любой окружности содержит – граничные точки множества X. Совокупность предельных и изолированных точек – называется точками соприкосновения множества X.

Множество X замкнутое, если оно содержит все свои точки прикосновения.

Замкнутым множеством является сегмент [a;b]. Открытость и замкнутость – не альтернативные понятия. Существуют множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми. Например, [a;b) или (a;b]. Или одновременно открытые и замкнутые ().

1.7.6. Принципы существования предельной точки (Вейерштрасс)

Всякое ограниченное бесконечное множество определяет хотя бы одну предельную точку. Для неограниченных бесконечных множеств это утверждение неверно. Множество целых чисел предельных точек не имеет, так как состоит их одних изолированных точек.

Для распространения принципа Вейерштрасса на неограниченное множество вводятся новые объекты: +бесконечность, - , которые числами не являются. Вводятся правила действия над ними.

Бессмысленно:

Тема 1.8. Элементы теории пределов. Бесконечные функции

1.8.1. Определение предела в терминах окресностей

Число А называется пределом при , и обозначается , если для любой -окресности числа А найдется такая окресность, что для всех значений х из этой окресности значения будут принадлежать -окресности числа А.

Конечный предел функции (А-вещественное число)

Число А-конечный предел функции в точке а, если

Замечание: Подробно о функции см. раздел 2. п.2.1.

1.8.2. Общие свойства конечного предела

1. Если - const, то ее предел существует и равен этой же const.

, то .

2. Если конечный предел существует, то он единственный

.

3. Если f(x), имеет конечный предел в точке а, то существует такая окрестность этой точки, в которой функция ограничена

.

4. Если функция имеет в точке а, конечный предел, неравный нулю то найдется такая в точке а, в которой - ограниченная .

5. Если f(x), имеет в точке а отрицательный конечный предел, то найдется такое значение этой точки, в котором функция отрицательная

.

1.8.3. Бесконечно малые функции и их свойства

Определение: - бесконечно малая при , если

Свойства:

Пусть и являются бесконечно малыми при , а - ограничена, то бесконечно малыми является: алгебраическая сумма функций f(x) и (x), произведения их и произведения функций на ограниченную.

1.8.4. Представление функции, имеющей конечный предел

Теорема: Для того чтобы функция имела конечный предел А в точке х=а, небходимо и достаточно, чтобы =А+(х), где (х)- бесконечно малая при .

Доказательство: