Тема 1. 6 . Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду уравнений линии и поверхности второго по­рядка

Квадратичной формой от трех переменных x,y,z называется одно­родный многочлен второй степени относительно этих переменных.

F(x,y,z)= a₁₁x² + 2a₁₂xу+ а₂₂у² + 2a₁₃xz+ 2a₂₃yz+a₂₂ z² (1.6.1)

Если учесть, что а₁₂ =a₂₁, a₁₃=a₃₁, a₂₃=a₃₂ , то F(x,y,z) записывается

в виде

F(x, у, z) = а₁₁х² + а₁₂ху + а₂₁ух + а₂₂ у² + a₁₃xz + a₃₁ zx + a₂₃ yz + a₃₂ zy + a₂₂z² .

н азывается матрицей квадратичной формы. Квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит члены только с квадратами пе­ременных, т.е. а_ij = 0; i,j = 1,3; i≠ j . Матрица (1.6.2) квадратичной формы

(1.6.1) будет иметь диагональный вид, если в трехмерном про­странстве перейти к. новому базису, состоящему из собственных век­торов (см. тему 1.5) матрицы А, при этом на главной диагонали бу­дут стоять собственные числа матрицы А.

Квадратичная форма в новом базисе будет иметь вид

F(x₁, y_1, z₁)=λ₁x₁² + λ₂ y₁² + λ₃z₁² (1.6.3)

В случае двух переменных х, у квадратичная форма F(x,y) имеет вид

F(х,у) = а₁₁х² + 2а₁₂ ху + а₂₂ y², (1.6.4)

п ричем а₁₂ = a₂₁ .

Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду применяются при решении задач на приведение к каноническому виду уравнений кривых второго порядка

a₁₁x² + 2а₁₂ ху + а₂₂ у² + b₁х + b₂ y + с = 0

и уравнений поверхностей второго порядка

a₁₁x² + 2а₁₂ ху + а₂₂ у² + 2a₁₃ xz+2a₂₃ yz+a₂₂ z² +b₁х + b₂ y +b₃ z + с = 0

Канонические уравнения основных кривых второго' порядка были рассмотрены в теме 1.4 (1.4.6). Поверхности второго порядка делятся на центральные и нецен­тральные. Канонические уравнения некоторых поверхностей второго порядка приведены ниже.

1.6.1. Уравнения центральных поверхностей второго порядка

λ =0-точка

λ =1-эллипс,

λ.=-1-мнимый эллипс.

λ = 1-однополостный гиперболоид

λ =-1-двуполостный гиперболоид;

λ = 0 эллиптический конус.

1.6.2. Нецентральные поверхности

λ =l-эллиптический параболоид,

λ =-1 гиперболический параболоид.

2.Цилиндрические поверхности:

λ =1- эллиптический цилиндр,

λ=1- гиперболический цилиндр.

- мнимый эллиптический цилиндр(уравнению не удовлетворяет ни одна точка),

- пара плоскостей,

г) х² = 2ру, у² = 2рх, z² = 2рх , (1.6.12)

и т.д. параболические цилиндры.

1.6.3. Плоскости

х² = λа² , а ≠0, λ=1 пара параллельных плоскостей;

λ=-1 мнимые плоскости (уравнению не удовлетворяет ни одна точка пространства);

λ=0 - пара совпадающих плоскостей.

Пример 1.6.1. Записать каноническое уравнение кривой второго порядка Зх²+4xу - 4х- 8y = 0 (сравните с решением примера 1.4.1 темы 1.4).

Квадратичная форма, содержащаяся среди слагаемых левой части уравнения имеет вид F(x,y)= Зх²+ 4xy , а ее матрица

В ычислим собственные числа и собственные векторы матрицы А (см. тему 1.5)

П усть собственные векторы Х_i(а₁⁽ⁱ⁾, а₂⁽ⁱ⁾) i.=1,2, где а₁⁽ⁱ⁾, а₂⁽ⁱ - коор­динаты. Система (1.5.5) для нахождения собственных векторов имеет вид

(3-λ)a₁+2a₂=0

2a₁-λa₂=0 (1.6.14)

Найдем собственные числа λ , решив характеристическое уравнение (1.5.6) .

П одставим первое собственное число λ₁=4 в систему (1.6.4).

и соответствующий единичный вектор X₁⁰ имеет вид

П одставим второе собственное число λ₂=-1 в систему (1.6.14):

П ерейдем в двумерное пространство R₂ к новому базису состав­ленному из собственных векторов матрицы А Х₁⁰ и Х₂⁰. При этом мат­рица квадратичной формы В в новом базисе будет иметь вид (1.5.3)

г де матрица Т составлена из координат собственных векторов, запи­санных в столбцы. Связь между старыми координатами х, у (в базисе i, j ) и новыми координатами x₁, y₁ (в новом базисе) реализуется по формуле

квадратичная форма в новом базисе имеет вид (1.6.3) (случай двух переменных) F(x_1, y₁) = 4x₁² - у₁² .

З апишем равнение кривой второго порядка в новых координатах, приведем подобные.

Уравнение совпало с уравнением, полученным в примере 1.4.1. темы 1.4 и поэтому дальнейшие преобразования идентичны.

с опряженная гипербола с полуосями а=1, b=2.

Пример 1.6.2.Записать каноническое уравнение поверхности вто­рого порядка

11x² + 4ху + 2y² - 16xz + 20yz + 5z² + 6x + l2y -6=0.

Запишем квадратичную форму, входящую в состав левой части уравнения F(x,y,z)=llx^г + 4ху+2у² - 16xz + 20yz + 5z²

С обственные числа этой матрицы λ₁ = 9, λ₂ = l8, λ ₃ = -9 и единичные cобст-венные векторы X₁⁰ = (2/3, 2/3, 1/3)^T, X₂⁰ =(-2/3, 1/3, 2/3)^Т, X₃⁰=(1/3, -2/3, 2/3)^Т

найдены в примере 1.5.4 (см. тему 1.5). Связь между координатами x, y,z в старом базисе (i,j,k) и координатами x₁,y₁,z₁ в новом базисе (X₁⁰,X₂⁰,X₃⁰) имеет вид

В ыше записанная матрица, как в примере 1.6.1,образована из коорди­нат собственных векторов, записанных в столбцы. Матрица квадратичной формы В в новом базисе - диагональная

F (x,y,z) =9x₁² +18y₁² -9z₁²

Запишем уравнение поверхности второго порядка в новых коорди­натах, приведем подобные члены и выделим полные квадраты

9x₁² +18y₁ ² - 9z₁² + 2(2x₁ - 2y₁ + z₁) + 4(2x₁ +y₁ -2z₁) - б = 0;

9 x₁² + I8y₁² - 9z₁² +12x₁ - бz₁ - б = 0;

Перейдем к новым координатам (параллельный перенос):

П олученное уравнение является каноническим уравнением однополо стного гиперболоида (1.6.7) с параметрами а =1, b =√2/2, с=1.

После изучения материала, содержащегося в разделе 1, студент должен выполнить контрольную работу N1.