
- •Группа пмф-091 выпускная квалификационная работа
- •Оглавление
- •Введение
- •Постановка задачи
- •Математическая модель
- •Условия доминирования
- •Доминирование упорядочений вида (..., , , ...) над упорядочениями вида (..., ,...).
- •Общий случай условий доминирования
- •Последовательное улучшение
- •Классификация методов решения
- •Эффективные преобразования
- •Синтез оптимального плана работы системы
- •Подход к решению задачи
- •Получение 1-оптимальных решений
- •Признак 1-оптимальности
- •Список литературы и электронных материалов
Общий случай условий доминирования
Обобщим результаты, полученные в предыдущем разделе, на случай упорядочений вида (..., tk, ..., tr, ...). А именно, определим достаточные условия того, что неравенство T( ) — T( ) верно для любых расписаний вида = ( , tk, , tr, ) и = ( , tr, , tk, ).
Теорема 3.2. Для того чтобы упорядочение (..., tk, ..., tr, ...) доминировало над упорядочением (..., tr, ..., tk, ...), достаточно, чтобы выполнялась система неравенств:
Доказательство. Рассмотрим 5-разбиение:
множества
индексов работ
= {1, 2, ..., n}.
Пусть р1,
р2
и р3
- произвольные перестановки элементов
множеств
соответственно. Из подпоследовательностей
,
и
и работ
сформируем два перестановочных расписания
= (
,
tk,
,
tr,
)
и
= (
,
tr,
,
tk,
),
отличающихся транспозицией элементов
и
.
Расписание
предпочтительнее
расписания
относительно критерия Tmax,
если верно неравенство
(3.18)
Покажем,
что если система неравенств (3.15-3.17)
совместна, то неравенство (3.18) верно при
любых подпоследовательностях
и
.
Определим
Перепишем неравенство (3.18) в виде
Из очевидного
следует
так что неравенство
эквивалентно
неравенству
.
Из равенства
=
следует: для того чтобы неравенство
было верно для любой подпоследовательности
,
достаточно выполнения условия
В свою очередь, для того чтобы условие (3.21) было выполнено, достаточно, чтобы была непротиворечива система неравенств
Определим условия, при выполнении которых эта система верна для любых подпоследовательностей и .
Система неравенств
Очевидно(1.22)⇔
:
Для
частичных расписаний
и
построим матрицы
и
В
матрице
выделим
некоторый критический путь S
и разобьем его на четыре сегмента
.
Действуя по той же схеме, что и при
доказательстве теоремы 3.1, получим, что
условия (3.15) являются достаточными для
выполнения системы (3.22).
Система неравенств
(3.23)
Заметим, как и в п.1,
(1.23)⇔
Пусть
- некоторая начальная подпоследовательность
в
,
так что частичные расписания
определяют «начальные участки» расписаний
и
соответственно. Для выполнения условия
(3.23)
достаточно потребовать:
Исследуя
критические пути матрицы
и соответствующие пути матрицы и
,
нетрудно получить
Таким образом, условия (3.16) являются достаточными для выполнения (3.23).
Система неравенств
(3.24)
Этот
случай является обобщением случая 2.
Пусть
- некоторая начальная подпоследовательность
в
.
Для выполнения условия (3.24)
достаточно потребовать:
Проводя рассуждения по аналогии с тем, как это было сделано при доказательстве теоремы об оптимальности транспозиции работ, убеждаемся, что условия (3.17) являются достаточными для выполнения (3.24).
Теорема доказана.