Инварианты и критерии подобия

Если все сходственные величины, определяющие состояние данной системы и системы ей подобной, выразить в относительных единицах, то эти отношения будут величиной постоянной.

– безразмерные числа, выражающие отношение однородных величин, в подобных системах, носят название инвариантов подобия;

Инварианты подобия, представляющие отношения однородных величин, называются симплексами или параметрическими критериями. Инварианты подобия, выражающие отношение разнородных величин, называются критериями подобия

Равенство критериев подобия – единственное количественное условие подобия процессов (тепловых, диффузионных и др.).

Если константы подобия найдены из условий однозначности, то образованные из них критерии подобия называются определяющими. Критерий, в который входит искомая величина, называют определяемым.

Любая зависимость между переменными может быть выражена в виде зависимостей между критериями подобия: f(k₁, k_2……k_i) = 0. Эту зависимость называют обобщенным (критериальным уравнением), а критерии k₁, k_2……k_i – обобщенными переменными.

(Обычно это уравнение записывают в виде зависимости определяемого критерия подобия от определяющих):

К₁ = f(k_2, k₃..), например , где А, n, m – постоянные множители, полученные из экспериментальных данных.

Преобразование дифференциальных уравнений

Критерии подобия можно получить путем преобразования дифференциальных уравнений, по следующей схеме:

1. записывают дифференциальное уравнение, описывающее исследуемый процесс;

2. делят все слагаемые дифференциального уравнения на какое-нибудь одно, в результате чего получают безразмерный комплекс;

3. отбрасывают знаки дифференциалов, при этом, символы, показывающие степени дифференциалов, сохраняют.

Указанная схема получения критериев подобия из дифференциальных уравнений применяется во всех разделах курса.

Рассмотрим, например, гидродинамическое подобие.

Перенос импульса:

1 2 3 4

1. - Критерий Эйлера, характеризует отношение силы гидростатического давления к силам инерции в подобных системах.

2. x = -g, - Критерий Фруда, характеризует отношение силы тяжести к силе инерции.

3. - Критерий Рейнольдса, характеризует отношение сил инерции и сил трения и определяет режим движения всех точек в подобных системах.

Т.о. решение дифференциального уравнения может быть представлено критериальным уравнением вида: f (Eu, Fr, Re) = 1 – Обобщенное критериальное уравнение;

В нем определяемым является критерий Эйлера, т.к. при решении практических задач с помощью этого уравнения определяют величину ΔР. Критерии Рейнольдса и Фруда – определяющими, так как они составлены из величин, выражающих условия однозначности. Тогда это уравнение можно представить в виде:

Eu = f (Re, Fr).

Возникают вопросы:

1. Какие параметры необходимо измерить?

2. Как представлять полученные данные?

3. Как и где применять?

Ответы:

1. Те, которые входят в критерии подобия, характеризующие данный процесс;

2. Представлять в виде критериальных уравнений;

3. В подобных процессах.

Самостоятельно: