Дифференциальные уравнения переноса

1. Уравнение переноса тепла (дифференциальное уравнение конвективного теплообмена Фурье – Кирхгофа).

Рассмотрим перенос тепла в однофазной, сплошной, изотропной среде без внутренних источников тепла γ=0 и с постоянными значениями параметров:

- а также отсутствует перенос тепла излучением

Потенциалом будет температура

– плотность теплового потока.

Тогда основное уравнение для теплового потока примет вид (при условии неразрывности потока):

Раскроем дивергенцию скалярного произведения и получим:

Т.к мы рассматриваем сплошную среду:

div w = 0

Проанализируем уравнение:

Dt/dτ – субстанциональная производная

– локальная производная;

– конвективная;

(18)

Дифференциальное уравнение конвективного переноса теплоты или уравнение Фурье-Кирхгофа. ( – оператор Набла)

Описывает совокупность мгновенных значений параметра в каждой точке выделенного объема, т.е. описывает поле температур.

Частные случаи:

1. Процесс стационарный ( )

2. Однонаправленное движение вдоль оси Х

3. Перенос тепла в неподвижной среде ( )

4. Перенос тепла в неподвижной среде и процесс стационарный (нет перемещения макрообъемов)

, т.к. а 0, то

5. Одномерный стационарный перенос тепла в неподвижной среде:

2. Уравнение переноса вещества (дифференциальное уравнение конвективного массообмена Фика).

Рассмотрим перенос вещества в однофазной, сплошной, изотропной среде без внутренних источников вещества:

Потенциалом переноса может быть плотность, тогда уравнение запишется:

Описывают поле концентраций в сплошном потоке однофазной изотропной среды.

Частные случаи:

1. Процесс стационарный ( )

2. Однонаправленное движение вдоль оси Х

3. Перенос вещества в неподвижной среде ( )

4. Перенос вещества в неподвижной среде и процесс стационарный

, т.к. D≠0, то

5. Одномерный стационарный перенос теплоты в неподвижной среде:

3. Уравнение переноса импульса (дифференциальные уравнения Навье – Стокса).

Импульс векторная величина.

Рассмотрим перенос импульса в однофазной, сплошной, изотропной среде без внутренних источников импульса и с массовыми силами: давления, инерции, вязкости.

Ось х :

(1)

(2)

(3)

(4)

Ось у :

Ось z :

x, y, z – проекции единичных массовых сил на соответствующие оси (массовые силы пропорциональны массе);

Единичная массовая сила – это массовая сила, отнесенная к единице массы объема, на который она действует, т.е. численно равна ускорению;

- кинематическая вязкость; влияние сил вязкости на перенос импульса;

ρ – плотность кг/м³;

Р – давление (Н/м²=Па);

w – средняя скорость движения.

Уравнение Навье-Стокса описывает поле скоростей в сплошном потоке однофазной изотропной среде. Каждое слагаемое учитывает силы: 1 – давление; 2 – массовые; 3 – инерции; 4 – вязкости (вязкостного трения).